Rings and Geometry

هنگامی که به دنبال کاربردهای تئوری حلقه در هندسه می‌گردیم، ابتدا هندسه جبری را در نظر می‌گیریم که گاهی اوقات ممکن است به عنوان جنبه عینی جبر جابجایی تعبیر شود. با این حال، این شاخه بسیار توسعه یافته از ریاضیات در انواع نمودارهای تکی مورد بررسی قرار گرفته است، به طوری که - علی رغم پیچیدگی فنی آن - می توان آن را به خوبی در دسترس دانست. در حالی که در 120 سال گذشته هندسه جبری بارها و بارها توجه متمرکز را به خود جلب کرده است - که در حال حاضر یک بار دیگر به اوج خود رسیده است - ، کاربردهای متعدد دیگر نظریه حلقه در هندسه در یک کتاب درسی جمع آوری نشده است و در بسیاری از مقالات در سراسر جهان پراکنده شده است. ادبیاتی که بیرون آمدن از سایه نظریه درخشان هندسه جبری را برای آنها سخت می کند. هدف این مقالات ارائه یکپارچه سازی از آن کاربردهای هندسی نظریه حلقه در خارج از هندسه جبری و نشان دادن این است که آنها نیز ثروت قابل توجهی از ایده های زیبا را ارائه می دهند. علاوه بر این، آشکار می شود که ارتباط طبیعی با بسیاری از شاخه های ریاضیات مدرن وجود دارد، مانند. g. به تئوری گروه های (جبری) و جبرهای اردن، و به ترکیبات. برای دقیق تر شدن این سخنان، اکنون به شرح مطالب می پردازیم. در فصل اول، رویکردی به سمت نظریه هندسه جبری غیرتبدیلی از دو دیدگاه متفاوت تلاش شده است.

When looking for applications of ring theory in geometry, one first thinks of algebraic geometry, which sometimes may even be interpreted as the concrete side of commutative algebra. However, this highly de­ veloped branch of mathematics has been dealt with in a variety of mono­ graphs, so that - in spite of its technical complexity - it can be regarded as relatively well accessible. While in the last 120 years algebraic geometry has again and again attracted concentrated interes- which right now has reached a peak once more - , the numerous other applications of ring theory in geometry have not been assembled in a textbook and are scattered in many papers throughout the literature, which makes it hard for them to emerge from the shadow of the brilliant theory of algebraic geometry. It is the aim of these proceedings to give a unifying presentation of those geometrical applications of ring theo~y outside of algebraic geometry, and to show that they offer a considerable wealth of beauti­ ful ideas, too. Furthermore it becomes apparent that there are natural connections to many branches of modern mathematics, e. g. to the theory of (algebraic) groups and of Jordan algebras, and to combinatorics. To make these remarks more precise, we will now give a description of the contents. In the first chapter, an approach towards a theory of non-commutative algebraic geometry is attempted from two different points of view.