Rigid Analytic Geometry and Its Applications

Title......Page 1
Contents......Page 3
1.1. Valued fields......Page 11
1.2. Banach spaces and Banach algebras......Page 14
2.1. Some definitions......Page 23
2.2. Holomorphic functions on an affinoid subset......Page 25
2.3. The residue theorem......Page 32
2.4. The Grothendieck topology on P......Page 35
2.5. Some sheaves on P......Page 40
2.6. Analytic subspaces of P......Page 43
2.7. Cohomology on an analytic subspace of P......Page 47
3. Affinoid Algebras......Page 55
3.1. Definition of an affinoid algebra......Page 56
3.2. Consequences of the Weierstrass theorem......Page 58
3.3. Affinoid spaces, Examples......Page 61
3.4. Properties of the spectral (semi-)norm......Page 65
3.5. Integral extensions of affinoid algebras......Page 69
3.6. The differential module Ωᶠ_A/k......Page 73
3.7. Products of affinoid spaces, Picard groups......Page 76
4.2. The weak G-topology and Tate\'s theorem......Page 81
4.3. General rigid spaces......Page 91
4.4. Sheaves on a rigid space......Page 96
4.5. Coherent analytic sheaves......Page 97
4.6. The sheaf of meromorphic functions......Page 101
4.7. Rigid vector bundles......Page 107
4.8. Analytic reductions and formal schemes......Page 109
4.9. Analytic reductions of a subspace of P^1,an_k......Page 117
4.10. Separated and proper rigid spaces......Page 120
5.1. The Tate curve......Page 131
5.2. Néron models for abelian varieties......Page 143
5.3. The Néron model of an elliptic curve......Page 146
5.4. Mumford curves and Schottky groups......Page 150
5.5. Stable reduction of curves......Page 152
5.6. A rigid proof of stable reduction for curves......Page 157
5.7. The universal analytic covering of a curve......Page 170
6.1. The complex case......Page 175
6.3. The analytification of an algebraic torus......Page 177
6.4. Lattices and analytic tori......Page 180
6.5. Meromorphic functions on an analytic torus......Page 182
6.6. Analytic tori and abelian varieties......Page 184
6.7.1. Néron model for an abelian variety of the form T......Page 187
6.7.2. Rigid construction of more general abelian varieties......Page 190
6.7.3. Stable reduction for abelian varieties......Page 194
6.7.4. Uniformization of a Jacobian variety......Page 195
7. Points of Rigid Spaces, Rigid Cohomology......Page 201
7.1. Points and sheaves on an affinoid space......Page 202
7.2. Explicit examples in dimension 1......Page 213
7.3. P(X) and the reductions of X......Page 216
7.4. Base change for overconvergent sheaves......Page 218
7.5. Overconvergent affinoid spaces......Page 224
7.6. Monsky-Washnitzer cohomology......Page 234
7.7. Rigid cohomology......Page 246
8. Etale Cohomology of Rigid Spaces......Page 249
8.1. Etale morphisms......Page 250
8.2. The etale site......Page 254
8.3. Etale points, overconvergent étale sheaves......Page 258
8.4. Etale cohomology in dimension 1......Page 262
8.5. Higher dimensional rigid spaces......Page 265
9.1. Introducing the problem......Page 269
9.2. I. Serre\'s result......Page 273
9.3. II. Rigid construction of coverings......Page 274
9.3.1. GAGA for coherent sheaves on P......Page 275
9.3.2. Covers......Page 277
9.3.3. Ramified coverings of P¹_K......Page 279
9.4. III. Reductions of curves modulo p......Page 282
References......Page 285
List of Notation......Page 299
Index......Page 303