Riemannian Geometry

این متن که برای یک دوره یک ساله در نظر گرفته شده است، به عنوان یک منبع واحد عمل می‌کند و خوانندگان را با تکنیک‌ها و قضایای مهم آشنا می‌کند، در حالی که حاوی پیش‌زمینه کافی در مورد موضوعات پیشرفته است تا برای آن دسته از دانش‌آموزانی که مایل به تخصص در هندسه ریمانی هستند، جذاب باشد. این یکی از معدود آثاری است که هم بخش‌های هندسی هندسه ریمانی و هم جنبه‌های تحلیلی نظریه را ترکیب می‌کند. این کتاب برای خوانندگانی که دانش پایه ای از نظریه چندگانه استاندارد، از جمله تانسورها، فرم ها، و گروه های دروغ دارند، جذاب خواهد بود.

بازبینی های مهم نسخه سوم عبارتند از: p>

• افزودن قابل توجهی از تمرین‌های منحصربه‌فرد و غنی‌کننده پراکنده در سراسر متن؛
  
• شامل افزایش تعداد محاسبات مختصات اتصال و انحنا ;
  
• افزودن فرمول‌های کلی برای انحنا در گروه‌های دروغ و فرورفتگی‌ها؛
  
• ادغام حساب متغیر در متن که امکان بررسی اولیه قضیه کره را با استفاده از اثبات برگر فراهم می‌کند. ;
  
• ادغام چندین نتیجه اخیر در مورد منیفولدهای با انحنای مثبت؛
  
• ارائه یک رویکرد ساده‌سازی جدید برای تکنیک بوشنر برای تانسورها با کاربرد برای مقادیر توپولوژیکی محدود با مرزهای کلی انحنای پایین تر.
  

از بررسی های نسخه اول:

\" این کتاب را می توان به همه ریاضیدانانی که می خواهند ایده عمیق تری در مورد جالب ترین دستاوردهای هندسه ریمانی به دست آورند، توصیه می شود. این یکی از معدود منابع جامع از این نوع است.\"

—Bernd Wegner, ZbMATH

Intended for a one year course, this text serves as a single source, introducing readers to the important techniques and theorems, while also containing enough background on advanced topics to appeal to those students wishing to specialize in Riemannian geometry. This is one of the few Works to combine both the geometric parts of  Riemannian geometry and the analytic aspects of the theory. The book will appeal to a readership that have a basic knowledge of standard manifold theory, including tensors, forms, and Lie groups.

Important revisions to the third edition include:

• a substantial addition of unique and enriching exercises scattered throughout the text;
  
• inclusion of an increased number of coordinate calculations of connection and curvature;
  
• addition of general formulas for curvature on Lie Groups and submersions;
  
• integration of variational calculus into the text allowing for an early treatment of the Sphere theorem using a proof by Berger;
  
• incorporation of several recent results about manifolds with positive curvature;
  
• presentation of a new simplifying approach to the Bochner technique for tensors with application to bound topological quantities with general lower curvature bounds.
  

From reviews of the first edition:

"The book can be highly recommended to all mathematicians who want to get a more profound idea about the most interesting achievements in Riemannian geometry. It is one of the few comprehensive sources of this type."

―Bernd Wegner, ZbMATH