Representations of Finite Groups: Local Cohomology and Support

این سمینار بر روی راه حل اخیر نویسندگان، در مورد یک مشکل طولانی مدت در مورد دسته بندی ماژول پایدار (نه لزوماً نمایش های ابعاد محدود) یک گروه محدود تمرکز دارد. این اثبات از ایده‌هایی از جبر جابه‌جایی، هم‌شناسی گروه‌ها و نظریه هموتوپی پایدار استوار است. موضوع متحد کننده مفهومی از پشتیبانی است که یک رویکرد هندسی برای مطالعه ساختارهای جبری مختلف ارائه می دهد. نمونه اولیه برای این توصیف دانیل کویلن از تنوع جبری مربوط به حلقه همومولوژی یک گروه محدود است که بر اساس آن جان کارلسون انواع پشتیبانی را برای نمایش های مدولار معرفی کرد. این امر امکان استفاده از روش های هندسه جبری را برای به دست آوردن اطلاعات نظری بازنمایی را ممکن ساخته است. کار آنها الهام بخش توسعه نظریه های مشابه در زمینه های مختلف، به ویژه ماژول ها بر روی حلقه های تقاطع کامل جابجایی و جبرهای Hopf متقابل است. یکی از موضوعات در این توسعه، طبقه‌بندی زیرمجموعه‌های ضخیم یا بومی‌سازی دسته‌های مختلف مثلثی بازنمودها بوده است. این داستان با طبقه‌بندی مایک هاپکینز از زیرمجموعه‌های ضخیم از کمپلکس‌های کامل بر روی یک حلقه نوترین جابه‌جایی آغاز شد و پس از آن طبقه‌بندی زیرمجموعه‌های بومی‌سازی دسته‌بندی مشتق شده کامل آن، به دلیل آمنون نیمن، آغاز شد. نویسندگان رویکردی را برای رسیدگی به چنین مشکلات طبقه‌بندی، بر اساس ساخت تابع‌های هم‌شناسی محلی و پشتیبانی از دسته‌های مثلثی با حلقه عملگرها، توسعه داده‌اند. این کتاب به عنوان مقدمه ای برای این دایره ایده ها عمل می کند.

The seminar focuses on a recent solution, by the authors, of a long standing problem concerning the stable module category (of not necessarily finite dimensional representations) of a finite group. The proof draws on ideas from commutative algebra, cohomology of groups, and stable homotopy theory. The unifying theme is a notion of support which provides a geometric approach for studying various algebraic structures. The prototype for this has been Daniel Quillen’s description of the algebraic variety corresponding to the cohomology ring of a finite group, based on which Jon Carlson introduced support varieties for modular representations. This has made it possible to apply methods of algebraic geometry to obtain representation theoretic information. Their work has inspired the development of analogous theories in various contexts, notably modules over commutative complete intersection rings and over cocommutative Hopf algebras. One of the threads in this development has been the classification of thick or localizing subcategories of various triangulated categories of representations. This story started with Mike Hopkins’ classification of thick subcategories of the perfect complexes over a commutative Noetherian ring, followed by a classification of localizing subcategories of its full derived category, due to Amnon Neeman. The authors have been developing an approach to address such classification problems, based on a construction of local cohomology functors and support for triangulated categories with ring of operators. The book serves as an introduction to this circle of ideas.