Regularization of Ill-Posed Problems by Iteration Methods

قاعده‌سازی تکرار، یعنی استفاده از روش‌های تکرار از هر شکلی برای حل تقریبی پایدار مسائل نامطلوب، یکی از مهم‌ترین موضوعات اما هنوز به اندازه کافی توسعه‌یافته نظریه جدید مسائل بد ارائه نشده است. در این تک نگاری، یک رویکرد کلی برای توجیه الگوریتم های منظم سازی تکرار توسعه داده شده است که به ما امکان می دهد روش های خطی و غیرخطی را از موقعیت های یکپارچه در نظر بگیریم. الگوریتم‌های منظم‌سازی روش‌های تکراری «کلاسیک» هستند (شییب‌ترین روش‌های فرود، روش‌های جهت مزدوج، روش‌های پیش‌بینی گرادیان، و غیره) که بسته به سطح خطاها در داده‌های ورودی با قانون توقف تکمیل می‌شوند. آنها برای حل معادلات عملگر خطی و غیرخطی در فضاهای هیلبرت بررسی می شوند. توجه زیادی به انتخاب شاخص تکرار به عنوان پارامتر تنظیم و تخمین خطاهای راه حل های تقریبی داده شده است. از خواص تثبیت کننده مانند صافی و محدودیت های شکل اعمال شده بر محلول استفاده می شود. بر اساس این بررسی‌ها، ما الگوریتم‌های منظم‌سازی کارآمدی را برای حل عددی پایدار کلاس وسیعی از مسائل بد ارائه می‌کنیم. به طور خاص، الگوریتم‌های تنظیم توصیفی، با استفاده از اطلاعات پیشینی در مورد رفتار کیفی راه‌حل مورد نظر و اطمینان از صرفه‌جویی قابل‌توجه در هزینه‌های محاسباتی، برای مسائل مدل و کاربردی در ترموفیزیک غیرخطی در نظر گرفته می‌شوند. نتایج محاسبات برای کاربردهای مهم در زمینه‌های فنی مختلف (ریخته‌گری پیوسته، تصفیه مواد و کمال سیستم‌های محافظ حرارتی با استفاده از فناوری‌های لیزر و کامپوزیت) ارائه شده است.

Iteration regularization, i.e., utilization of iteration methods of any form for the stable approximate solution of ill-posed problems, is one of the most important but still insufficiently developed topics of the new theory of ill-posed problems. In this monograph, a general approach to the justification of iteration regulari­ zation algorithms is developed, which allows us to consider linear and nonlinear methods from unified positions. Regularization algorithms are the 'classical' iterative methods (steepest descent methods, conjugate direction methods, gradient projection methods, etc.) complemented by the stopping rule depending on level of errors in input data. They are investigated for solving linear and nonlinear operator equations in Hilbert spaces. Great attention is given to the choice of iteration index as the regularization parameter and to estimates of errors of approximate solutions. Stabilizing properties such as smoothness and shape constraints imposed on the solution are used. On the basis of these investigations, we propose and establish efficient regularization algorithms for stable numerical solution of a wide class of ill-posed problems. In particular, descriptive regularization algorithms, utilizing a priori information about the qualitative behavior of the sought solution and ensuring a substantial saving in computational costs, are considered for model and applied problems in nonlinear thermophysics. The results of calculations for important applications in various technical fields (a continuous casting, the treatment of materials and perfection of heat-protective systems using laser and composite technologies) are given.