Regularity of Minimal Surfaces

نظم سطوح حداقل با بررسی حداقل سطوح با مرزهای آزاد آغاز می شود. به دنبال این، نتایج اساسی در مورد رفتار مرزی حداقل سطوح و سطوح H با مرزهای ثابت یا آزاد مورد مطالعه قرار می‌گیرند. به طور خاص، انبساط مجانبی در نقاط انشعاب داخلی و مرزی مشتق شده است، که منجر به فرمول‌های عمومی گاوس-بونت می‌شود. علاوه بر این، برآوردهای گرادیان و انبساط مجانبی برای سطوح حداقل با مرزهای صاف تکه‌ای به دست می‌آیند. یکی از ویژگی‌های اصلی مسائل ارزش مرزی آزاد برای سطوح حداقل این است که به دلایل اصلی، استخراج تخمین‌های پیشینی غیرممکن است. بنابراین، اثبات نظم برای غیر حداقل سازها باید مبتنی بر استدلال غیرمستقیم با استفاده از فرمول های یکنواختی باشد. این با یک فصل طولانی در مورد خواص هندسی سطوح حداقل و H مانند قضایای محفظه و نابرابری‌های هم‌پرمتریک دنبال می‌شود که منجر به بحث در مورد مسائل موانع و مسئله فلات برای سطوح H در منیفولد ریمانی می‌شود. یک تعمیم طبیعی مسئله ایزوپریمتری، به اصطلاح مسئله رزوه است که با حداقل سطوحی که مرز آنها از یک قوس ثابت با طول معین تشکیل شده است، سروکار دارد. وجود و منظم بودن راه حل ها مورد بحث قرار می گیرد. فصل آخر در مورد نقاط انشعاب، رویکرد جدیدی به این قضیه ارائه می‌کند که راه‌حل‌های کمینه‌سازی مساحت مشکل فلات، نقاط انشعاب داخلی ندارند.

Regularity of Minimal Surfaces begins with a survey of minimal surfaces with free boundaries. Following this, the basic results concerning the boundary behaviour of minimal surfaces and H-surfaces with fixed or free boundaries are studied. In particular, the asymptotic expansions at interior and boundary branch points are derived, leading to general Gauss-Bonnet formulas. Furthermore, gradient estimates and asymptotic expansions for minimal surfaces with only piecewise smooth boundaries are obtained. One of the main features of free boundary value problems for minimal surfaces is that, for principal reasons, it is impossible to derive a priori estimates. Therefore regularity proofs for non-minimizers have to be based on indirect reasoning using monotonicity formulas. This is followed by a long chapter discussing geometric properties of minimal and H-surfaces such as enclosure theorems and isoperimetric inequalities, leading to the discussion of obstacle problems and of Plateau´s problem for H-surfaces in a Riemannian manifold. A natural generalization of the isoperimetric problem is the so-called thread problem, dealing with minimal surfaces whose boundary consists of a fixed arc of given length. Existence and regularity of solutions are discussed. The final chapter on branch points presents a new approach to the theorem that area minimizing solutions of Plateau´s problem have no interior branch points.