Regular Functions of a Quaternionic Variable

این کتاب به بررسی مبانی تئوری توابع منظم برش بر روی چهارتایی ها که در سال 2006 معرفی شد، می پردازد و مروری بر کلیات و کاربردهای آن ارائه می دهد.

همانطور که در مورد دیگر نظریه‌های تابع چهارتایی جالب، انگیزه‌های اصلی غنای نظریه توابع هولومورفیک یک متغیر مختلط و این واقعیت بود که ربع‌ها تنها جبر تقسیم واقعی انجمنی با بعد محدود n>2 را تشکیل می‌دهند. توابع منظم (Slice) به سرعت ویژگی‌های جذابی را نشان دادند و به یک نظریه کامل تبدیل شدند، در حالی که کاربردهایی برای مسائل برجسته از سایر حوزه‌های ریاضی پیدا کردند. به عنوان مثال، این دسته از توابع شامل چند جمله ای ها و سری های توانی است. ماهیت مجموعه های صفر توابع منظم به ویژه جالب است و به شدت به ساختار جبری مفصلی مرتبط است، که اجازه می دهد چندین نوع بسط سری و مطالعه تکینگی ها را انجام دهد. فرمول‌های نمایش انتگرال، نظریه را غنی می‌کنند و برای ساخت یک حساب تابعی غیرجابه‌جایی اساسی هستند. توابع منظم توپولوژی دیفرانسیل خوبی دارند و ابزار مفیدی برای ساخت و طبقه‌بندی ساختارهای پیچیده متعامد چهارتایی هستند، جایی که کمبود نقشه‌های هم‌شکل را در بعد چهار جبران می‌کنند.

این ویرایش دوم و بسط یافته به‌علاوه شاخه جدیدی از این نظریه را پوشش می‌دهد: مطالعه توابع منظم که حوزه‌های آنها متقارن محوری نیستند. این جلد برای دانشجویان فارغ التحصیل و محققین در تحلیل و هندسه پیچیده یا ابرمجموعه، تئوری توابع، و تحلیل تابعی به طور کلی در نظر گرفته شده است.

This book surveys the foundations of the theory of slice regular functions over the quaternions, introduced in 2006, and gives an overview of its generalizations and applications.

As in the case of other interesting quaternionic function theories, the original motivations were the richness of the theory of holomorphic functions of one complex variable and the fact that quaternions form the only associative real division algebra with a finite dimension n>2. (Slice) regular functions quickly showed particularly appealing features and developed into a full-fledged theory, while finding applications to outstanding problems from other areas of mathematics. For instance, this class of functions includes polynomials and power series. The nature of the zero sets of regular functions is particularly interesting and strictly linked to an articulate algebraic structure, which allows several types of series expansion and the study of singularities. Integral representation formulas enrich the theory and are fundamental to the construction of a noncommutative functional calculus. Regular functions have a particularly nice differential topology and are useful tools for the construction and classification of quaternionic orthogonal complex structures, where they compensate for the scarcity of conformal maps in dimension four.

This second, expanded edition additionally covers a new branch of the theory: the study of regular functions whose domains are not axially symmetric. The volume is intended for graduate students and researchers in complex or hypercomplex analysis and geometry, function theory, and functional analysis in general.