Reduction of Nonlinear Control Systems: A Differential Geometric Approach

پیشرفت‌های علم و فناوری استفاده از فرآیندهای کنترل پویا پیچیده‌تر را ضروری می‌سازد. بدون شک، مدل های پیچیده ریاضی نیز به طور همزمان برای این فرآیندها شرح داده شده است. به طور خاص، سیستم‌های کنترل دینامیکی خطی iJ = Ay + Bu، y E M C]Rn، U E]RT، (1) که در آن A و B ثابت هستند، اغلب به نفع سیستم‌های کنترل دینامیکی غیرخطی رها می‌شوند (2) که علاوه بر این، شامل تعداد زیادی معادله است. حل مسائل برای سیستم های کنترل غیرخطی چند بعدی با مشکلات جدی مقابله می کند که ماهیت ریاضی و فنی دارند. بنابراین، توسعه روش‌های کاهش سیستم‌های غیرخطی به شکل ساده‌تر، برای مثال، تجزیه به سیستم‌های با ابعاد کمتر ضروری است. رویکردهای کاهش، به‌ویژه تکنیک‌های مبتنی بر روش‌های تقریبی متنوع هستند. در این مونوگراف، ما طبیعی‌ترین و بدیهی‌ترین رویکرد (به نظر ما) را توضیح می‌دهیم که اساساً در هر نظریه موجودات ریاضی ریاضی، به عنوان مثال، در نظریه فضاهای خطی، نظریه گروه‌ها و غیره ذاتی است. کاهش در تفسیر ما. بر اساس انتساب به شی اولیه یک شی هم شکل، یک شی ضریب و یک شی فرعی است. به عنوان مثال، در تئوری فضاهای خطی، کاهش عبارت است از تقلیل به فضای خطی هم شکل، فضای ضریب و فضای فرعی. به بیان دقیق، ارائه هر نظریه ریاضی اساساً با معرفی این اشیاء کاهش یافته و تعیین ویژگی های اساسی آنها در رابطه با شی اولیه آغاز می شود.

Advances in science and technology necessitate the use of increasingly-complicated dynamic control processes. Undoubtedly, sophisticated mathematical models are also concurrently elaborated for these processes. In particular, linear dynamic control systems iJ = Ay + Bu, y E M C ]Rn, U E ]RT, (1) where A and B are constants, are often abandoned in favor of nonlinear dynamic control systems (2) which, in addition, contain a large number of equations. The solution of problems for multidimensional nonlinear control systems en­ counters serious difficulties, which are both mathematical and technical in nature. Therefore it is imperative to develop methods of reduction of nonlinear systems to a simpler form, for example, decomposition into systems of lesser dimension. Approaches to reduction are diverse, in particular, techniques based on approxi­ mation methods. In this monograph, we elaborate the most natural and obvious (in our opinion) approach, which is essentially inherent in any theory of math­ ematical entities, for instance, in the theory of linear spaces, theory of groups, etc. Reduction in our interpretation is based on assigning to the initial object an isomorphic object, a quotient object, and a subobject. In the theory of linear spaces, for instance, reduction consists in reducing to an isomorphic linear space, quotient space, and subspace. Strictly speaking, the exposition of any mathemat­ ical theory essentially begins with the introduction of these reduced objects and determination of their basic properties in relation to the initial object.