Reduced Basis Methods for Partial Differential Equations: An Introduction

این کتاب مقدمه‌ای برای روش‌های پایه کاهش‌یافته (RB) برای مسائل مربوط به حل مکرر معادلات دیفرانسیل جزئی (PDEs) ناشی از مهندسی و علوم کاربردی، مانند PDE‌ها بسته به چند پارامتر و PDE-محدود شده ارائه می‌کند. بهينه سازي.

این کتاب یک فرمول ریاضی کلی از روش‌های RB را ارائه می‌کند، خواص نظری اساسی آنها را تجزیه و تحلیل می‌کند، جنبه‌های الگوریتمی و پیاده‌سازی مرتبط را مورد بحث قرار می‌دهد و ساختارهای جبری و هندسی داخلی آنها را برجسته می‌کند.

به طور خاص، نویسندگان استراتژی‌های جایگزین برای ساخت فضاهای RB دقیق با استفاده از الگوریتم‌های حریصانه و تکنیک‌های تجزیه متعامد مناسب را مورد بحث قرار می‌دهند، خواص تقریبی آن‌ها را بررسی می‌کنند و استراتژی‌های تجزیه آفلاین-آنلاین را با هدف کاهش پیچیدگی محاسباتی تحلیل می‌کنند. علاوه بر این، آنها هم تحلیل خطای پیشینی و هم پسینی را انجام می دهند.

کل ارائه ریاضی با استفاده از نمونه‌های معرف علاقه کاربردی در زمینه PDEهای خطی و غیرخطی تحریک‌کننده‌تر می‌شود. علاوه بر این، گنجاندن بسیاری از شبه کدها به خواننده اجازه می دهد تا الگوریتم های نشان داده شده در سراسر متن را به راحتی پیاده سازی کند. این کتاب برای دانشجویان فوق لیسانس و به طور کلی افرادی که به محاسبات علمی علاقه مند هستند ایده آل خواهد بود.

همه این شبه کدها در واقع در یک بسته MATLAB پیاده سازی شده اند که به صورت رایگان در https:// در دسترس است. github.com/redbkit

This book provides a basic introduction to reduced basis (RB) methods for problems involving the repeated solution of partial differential equations (PDEs) arising from engineering and applied sciences, such as PDEs depending on several parameters and PDE-constrained optimization.

The book presents a general mathematical formulation of RB methods, analyzes their fundamental theoretical properties, discusses the related algorithmic and implementation aspects, and highlights their built-in algebraic and geometric structures.

More specifically, the authors discuss alternative strategies for constructing accurate RB spaces using greedy algorithms and proper orthogonal decomposition techniques, investigate their approximation properties and analyze offline-online decomposition strategies aimed at the reduction of computational complexity. Furthermore, they carry out both a priori and a posteriori error analysis.

The whole mathematical presentation is made more stimulating by the use of representative examples of applicative interest in the context of both linear and nonlinear PDEs. Moreover, the inclusion of many pseudocodes allows the reader to easily implement the algorithms illustrated throughout the text. The book will be ideal for upper undergraduate students and, more generally, people interested in scientific computing.

All these pseudocodes are in fact implemented in a MATLAB package that is freely available at https://github.com/redbkit