Rechnen mit dem Unendlichen: Beiträge zur Entwicklung eines kontroversen Gegenstandes

\"همه مشارکت‌کنندگان نتوانسته‌اند توضیح دهند که چگونه بسیاری از قضایای صحیح را می‌توان از یک فرض متناقض، مانند فرضیه‌ای با قدر بی‌نهایت، استخراج کرد. همگی کم و بیش از [کیفیت] سادگی و نادیده گرفتن وضوح و دقت بالا برخوردارند. همه اکثر آنها حتی ندیده اند که اصل مورد نظر نباید به حساب بی نهایت کوچک محدود شود، بلکه باید به جبر و هندسه که به روش قدیمی ها به کار می رفته است، از نظر فرهنگستان گسترش یابد، بنابراین، این سؤال به طور کامل حل نشده است. امروز، دو قرن بعد، می‌توانیم ببینیم که این وظیفه جایزه آکادمی برای چندین نسل کیفیت یک کار تحقیقاتی را داشته است - و با استانداردهای آکادمی تا به امروز حل نشده است - شاید به این دلیل که در واقع در این شکل غیر قابل حل است. این سوال در مورد یک اصل ریاضی منفرد از بی نهایت پرسیده شد که بدون اینکه متناقض باشد، برای استنباط همه قضایای ریاضی واقعی به روشی ساده، واضح و دقیق - در همه حوزه های ریاضی (علاوه بر حساب بی نهایت کوچک، هندسه و جبر) کافی است. . در هر صورت، تقاضا برای منحصر به فرد بودن از منظر امروز غیرقابل تحقق به نظر می رسد. تا کنون نمی توان دید که چگونه می توان چنین اصل واحدی را برای همه ریاضیات فرموله کرد. توسعه هندسه در اوایل قرن 19 به احتمال زیاد مسیر مورد نظر جایزه را دنبال می کرد.

"Alle Einsender haben es versäumt zu erklären, wie so zahlreiche richtige Lehrsätze aus einer widerspruchsvollen Voraussetzung her­ geleitet werden können, wie es die einer unendlichen Größe ist. Alle haben sie mehr oder weniger die erforderten [Qualitäten der] Ein­ fachheit und Klarheit und über allem der Strenge außer acht ge­ lassen. Die meisten von ihnen haben nicht einmal gesehen, daß das gesuchte Prinzip nicht auf den Infinitesimalkalkül beschränkt sein sollte, sondern auf Algebra und auf Geometrie, wie sie in der Weise der Alten gehandhabt wird, auszudehnen war. Nach Ansicht der Akademie ist daher die Frage nicht in vollem Umfang gelöst. "2 Heute, im Abstand von zwei Jahrhunderten sehen wir, daß diese Preisaufgabe der Akademie die Qualität einer Forschungsaufgabe für viele Generationen hatte - und daß sie nach den Maßstäben der Akademie bis auf den heutigen Tag nicht gelöst ist - vielleicht, weil sie in dieser Form tatsächlich unlösbar ist. Gefragt wurde nach einem einzigen Mathematischen Prinzip des Unendlichen, welches, ohne widerspruchsvoll zu sein, hinreicht, sämtliche wahren mathema­ tischen Lehrsätze in einfacher, klarer und strenger Weise zu deduzieren - und zwar in allen mathematischen Gebieten (ausdrücklich genannt wurden neben der Infinitesimalrechnung die Geometrie und die Algebra). In heutiger Sicht unerfüllbar scheint jedenfalls die Forderung der Einzigkeit; Es ist bisher nicht zu sehen, wie ein einziges solches Prinzip für die gesamte Mathematik formulierbar sein könnte. Die Entwicklung der Geometrie im frühen 19. Jahrhundert verlief noch am ehesten in den von der Preisaufgabe gewünschten Bahnen.