Random Matrix Theory with an External Source

این اولین کتابی است که نشان می‌دهد نظریه ماتریس تصادفی گاوسی برای درک همبستگی‌های جهانی با نوسانات تصادفی ضروری است و نشان می‌دهد که برای ارزیابی کمیت‌های جهانی توپولوژیکی مفید است. ما مدل‌های ماتریس تصادفی گاوسی را در حضور یک منبع ماتریس قطعی در نظر می‌گیریم. در چنین مدل هایی، توابع همبستگی دقیقاً برای یک منبع دلخواه و برای هر اندازه ای از ماتریس ها شناخته می شوند. آزادی داده شده توسط منبع خارجی امکان تنظیم های مختلف را برای طبقات مختلف جهانی بودن فراهم می کند. علاقه اصلی استفاده از این آزادی برای محاسبه متغیرهای توپولوژیکی مختلف برای سطوح مانند اعداد تقاطع برای منحنی‌های ترسیم شده روی سطحی از جنس معین با نقاط مشخص شده، ویژگی‌های اویلر و متغیرهای گروموف-ویتن است. یک دوگانگی قابل توجه برای میانگین چندجمله ای های مشخصه برای به دست آوردن چنین متغیرهای توپولوژیکی ضروری است. تجزیه و تحلیل به سطوح غیر قابل جهت گیری و سطوح دارای مرز گسترش می یابد.

This is a first book to show that the theory of the Gaussian random matrix is essential to understand the universal correlations with random fluctuations and to demonstrate that it is useful to evaluate topological universal quantities. We consider Gaussian random matrix models in the presence of a deterministic matrix source. In such models the correlation functions are known exactly for an arbitrary source and for any size of the matrices. The freedom given by the external source allows for various tunings to different classes of universality. The main interest is to use this freedom to compute various topological invariants for surfaces such as the intersection numbers for curves drawn on a surface of given genus with marked points, Euler characteristics, and the Gromov–Witten invariants. A remarkable duality for the average of characteristic polynomials is essential for obtaining such topological invariants. The analysis is extended to nonorientable surfaces and to surfaces with boundaries.