Random matrices, random processes and integrable systems

این کتاب به بررسی ارتباطات قابل توجه بین دو حوزه می پردازد که پیشینی به نظر نامرتبط به نظر می رسند: ماتریس های تصادفی (همراه با فرآیندهای تصادفی مرتبط) و سیستم های ادغام پذیر. روابط بین مدل‌های ماتریس تصادفی و نظریه سیستم‌های انتگرال‌پذیر کلاسیک مدت‌هاست مورد مطالعه قرار گرفته است. اینها عمدتاً در تئوری تغییر شکل ظاهر می شوند، زمانی که پارامترهای مشخص کننده معیارها یا حوزه محلی سازی مقادیر ویژه متفاوت هستند. معادلات دیفرانسیل حاصل که تابع پارتیشن و توابع همبستگی را تعیین می کنند، به طور قابل توجهی از همان نوع معادلات خاصی هستند که در تئوری سیستم های ادغام پذیر ظاهر می شوند. آنها ممکن است به طور موثر از طریق روش های مبتنی بر مسئله ریمان-هیلبرت نظریه تابع تحلیلی و با رویکردهای مرتبط برای مطالعه مجانبی غیرخطی در حد بزرگ N تجزیه و تحلیل شوند. در ارتباط با مطالعات مدل‌های ماتریسی، فرآیندهای تصادفی خاصی، «فرایندهای دایسون»، و محدودیت‌های انتشار پیوسته آن‌ها، که بر طیف در مجموعه‌های ماتریس تصادفی حاکم است، و همچنین ممکن است با روش‌های مرتبط مورد مطالعه قرار گیرند، مرتبط هستند.

ماتریس‌های تصادفی، فرآیندهای تصادفی و سیستم‌های یکپارچه بررسی عمیق ماتریس‌های تصادفی با کاربردها در دامنه‌های مختلف، از جمله آمار چند متغیره ارائه می‌کند. ، مدل های رشد تصادفی و بسیاری دیگر. رهبران این حوزه، نظریه سیستم‌های ادغام‌پذیر را برای حل مشکلات اساسی در سیستم‌ها و فرآیندهای تصادفی با استفاده از یک رویکرد بین‌رشته‌ای استفاده می‌کنند که نور جدیدی بر موضوع پویای تحقیقات فعلی می‌تابد.

This book explores the remarkable connections between two domains that, a priori, seem unrelated: Random matrices (together with associated random processes) and integrable systems. The relations between random matrix models and the theory of classical integrable systems have long been studied. These appear mainly in the deformation theory, when parameters characterizing the measures or the domain of localization of the eigenvalues are varied. The resulting differential equations determining the partition function and correlation functions are, remarkably, of the same type as certain equations appearing in the theory of integrable systems. They may be analyzed effectively through methods based upon the Riemann-Hilbert problem of analytic function theory and by related approaches to the study of nonlinear asymptotics in the large N limit. Associated with studies of matrix models are certain stochastic processes, the "Dyson processes", and their continuum diffusion limits, which govern the spectrum in random matrix ensembles, and may also be studied by related methods.

Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems provides an in-depth examination of random matrices with applications over a vast variety of domains, including multivariate statistics, random growth models, and many others. Leaders in the field apply the theory of integrable systems to the solution of fundamental problems in random systems and processes using an interdisciplinary approach that sheds new light on a dynamic topic of current research.