Random Evolutions and Their Applications

هدف اصلی این کتاب، جمع بندی و نظم بخشیدن به ایده ها، روش ها، نتایج و ادبیات مربوط به نظریه تحولات تصادفی و کاربرد آنها در سیستم های تصادفی تکاملی در رسانه های تصادفی و همچنین ارائه برخی روندهای جدید است. در نظریه تحولات تصادفی و کاربردهای آنها در زبان فیزیکی، یک تکامل تصادفی (RE) مدلی برای یک سیستم دینامیکی است که وضعیت تکامل آن در معرض تغییرات تصادفی است. چنین سیستم هایی در همه شاخه های علم به وجود می آیند. به عنوان مثال، معادلات تصادفی همیلتونین و شرودینگر با پتانسیل تصادفی در مکانیک کوانتومی، معادله ماکسول با ضریب شکست تصادفی در الکترودینامیک، معادلات انتقال مرتبط با مسیر حرکت ذره‌ای که سرعت و جهت آن به طور تصادفی تغییر می‌کند و غیره. یک موقعیت انتزاعی منفرد که در آن یک سیستم در حال تکامل \"شیوه تکامل\" یا \"قانون حرکت\" خود را به دلیل تغییرات تصادفی \"محیط\" یا در \"رسانه\" تغییر می دهد. بنابراین، در زبان ریاضی، RE حل معادلات انتگرال عملگر تصادفی در فضای Banach است. ضرایب عملگر چنین معادلاتی به پارامترهای تصادفی بستگی دارد. البته، در چنین کلیتی، معادله ما شامل هر سیستم تکامل خطی همگن است. نمونه‌های خاصی از چنین معادلاتی سال‌ها پیش در کاربردهای فیزیکی مورد مطالعه قرار گرفتند. یک نظریه ریاضی کلی از چنین معادلاتی از سال 1969 ایجاد شده است، نظریه تحولات تصادفی.

The main purpose of this handbook is to summarize and to put in order the ideas, methods, results and literature on the theory of random evolutions and their applications to the evolutionary stochastic systems in random media, and also to present some new trends in the theory of random evolutions and their applications. In physical language, a random evolution ( RE ) is a model for a dynamical sys­ tem whose state of evolution is subject to random variations. Such systems arise in all branches of science. For example, random Hamiltonian and Schrodinger equations with random potential in quantum mechanics, Maxwell's equation with a random refractive index in electrodynamics, transport equations associated with the trajec­ tory of a particle whose speed and direction change at random, etc. There are the examples of a single abstract situation in which an evolving system changes its "mode of evolution" or "law of motion" because of random changes of the "environment" or in a "medium". So, in mathematical language, a RE is a solution of stochastic operator integral equations in a Banach space. The operator coefficients of such equations depend on random parameters. Of course, in such generality , our equation includes any homogeneous linear evolving system. Particular examples of such equations were studied in physical applications many years ago. A general mathematical theory of such equations has been developed since 1969, the Theory of Random Evolutions.