Random and Quasi-Random Point Sets

این جلد مجموعه ای از مقالات نظرسنجی در مورد پیشرفت های اخیر در زمینه روش های شبه مونت کارلو و تولید اعداد تصادفی یکنواخت است. ما طیف گسترده ای از سوالات را پوشش خواهیم داد، از نظریه اعداد متریک پیشرفته تا قیمت گذاری مشتقات مالی. روش مونت کارلو یکی از مهمترین ابزارهای مدلسازی سیستم است. الگوریتم های قطعی، به اصطلاح تولید کننده اعداد تصادفی یکنواخت، برای تولید ورودی سیستم های مدل در رایانه ها استفاده می شوند. چنین مولدهایی توسط آزمون های نظری (\"پیشینی\") و توسط آزمون های تجربی ارزیابی می شوند. در تحلیل پیشینی، ما ارقام شایستگی را مطالعه می‌کنیم که یکنواختی مجموعه‌های نقطه‌ای «تصادفی» با ابعاد بالا را اندازه‌گیری می‌کنند. درجه یکنواختی به شدت با درجه همبستگی در اعداد تصادفی مرتبط است. هدف رویکرد شبه مونت کارلو بهبود نرخ همگرایی در روش مونت کارلو با تکنیک‌های تئوری اعداد است. مرزهای قطعی برای خطای تقریب به دست می دهد. ابزار اصلی ریاضی در اینجا به اصطلاح دنباله های کم اختلاف هستند. این نقاط \"شبه تصادفی\" توسط الگوریتم های قطعی تولید می شوند و باید تا حد امکان \"فوق العاده\" به طور یکنواخت توزیع شوند. از این رو، هم در تولید اعداد تصادفی یکنواخت و هم در روش‌های شبه مونت کارلو، یکنواختی مجموعه‌های نقطه‌ای که به‌طور قطعی تولید شده‌اند در ابعاد بالا مطالعه می‌کنیم. با سوء استفاده (متداول) از زبان، از مجموعه نقاط تصادفی و شبه تصادفی صحبت می شود. سؤالات اصلی مورد بررسی در این کتاب عبارتند از: (1) نحوه تولید، (2) نحوه تجزیه و تحلیل، و (iii) نحوه اعمال چنین مجموعه‌های نقطه‌ای با ابعاد بالا.

This volume is a collection of survey papers on recent developments in the fields of quasi-Monte Carlo methods and uniform random number generation. We will cover a broad spectrum of questions, from advanced metric number theory to pricing financial derivatives. The Monte Carlo method is one of the most important tools of system modeling. Deterministic algorithms, so-called uniform random number gen­ erators, are used to produce the input for the model systems on computers. Such generators are assessed by theoretical ("a priori") and by empirical tests. In the a priori analysis, we study figures of merit that measure the uniformity of certain high-dimensional "random" point sets. The degree of uniformity is strongly related to the degree of correlations within the random numbers. The quasi-Monte Carlo approach aims at improving the rate of conver­ gence in the Monte Carlo method by number-theoretic techniques. It yields deterministic bounds for the approximation error. The main mathematical tool here are so-called low-discrepancy sequences. These "quasi-random" points are produced by deterministic algorithms and should be as "super"­ uniformly distributed as possible. Hence, both in uniform random number generation and in quasi-Monte Carlo methods, we study the uniformity of deterministically generated point sets in high dimensions. By a (common) abuse oflanguage, one speaks of random and quasi-random point sets. The central questions treated in this book are (i) how to generate, (ii) how to analyze, and (iii) how to apply such high-dimensional point sets.