Ramsey Theory for Discrete Structures

این تک نگاری برخی از مهم ترین تحولات نظریه رمزی را از آغاز آن در اوایل قرن بیستم از طریق پیشرفت های فراوان آن تا تحولات مهم اخیر در اوایل قرن بیست و یکم پوشش می دهد.

ابتدا این کتاب است. قبل از ارائه یک بحث کامل در مورد نقش مجموعه پارامترها، بحث مفصلی در مورد ریشه های نظریه رمزی ارائه می کند. چندین نمونه از ساختارهایی را ارائه می‌کند که می‌توانند بر حسب مجموعه‌های پارامتر تفسیر شوند و بنیادی‌ترین نتایج نوع رمزی را برای مجموعه‌های پارامتر نشان می‌دهد: قضیه هیلز-جویت و قضیه رمزی گراهام-روچیلد و همچنین نسخه‌های متعارف آنها و چندین کاربرد. در مرحله بعد، کتاب به ابتدایی ترین ساختار یعنی مجموعه ها بازمی گردد. نتایج کلاسیک و همچنین پیشرفت‌های اخیر در اعداد رمزی و رفتار مجانبی توابع رمزی کلاسیک را بررسی می‌کند. علاوه بر این، نسخه‌های محصول قضیه رمزی را ارائه می‌کند، اثبات ترکیبی ناقص بودن حساب Peano، انحرافی به نظریه اختلاف ارائه می‌کند و بسط قضیه رمزی را به کاردینال‌های بزرگ‌تر بررسی می‌کند. بخش بعدی کتاب به بررسی عمیق مسئله رمزی برای نمودارها و ابرگراف ها می پردازد. این گزارش وجود قضیه رمزی پراکنده و محدود را با استفاده از ساختارهای پیچیده و همچنین روش‌های احتمالی ارائه می‌دهد. از جمله، این شامل اثباتی از قضیه گراهام-روچیلد القایی و قضیه تصادفی رمزی است. این کتاب با فصلی درباره یکی از نکات برجسته اخیر نظریه رمزی پایان می‌یابد: اثبات ترکیبی قضیه چگالی هیلز-جویت.

این کتاب مقدمه و مرجع محکمی را برای دانشجویان فارغ‌التحصیل و همچنین محققان پیشرفته ارائه می‌کند. به میدان.

This monograph covers some of the most important developments in Ramsey theory from its beginnings in the early 20th century via its many breakthroughs to recent important developments in the early 21st century.

The book first presents a detailed discussion of the roots of Ramsey theory before offering a thorough discussion of the role of parameter sets. It presents several examples of structures that can be interpreted in terms of parameter sets and features the most fundamental Ramsey-type results for parameter sets: Hales-Jewett's theorem and Graham-Rothschild¹s Ramsey theorem as well as their canonical versions and several applications. Next, the book steps back to the most basic structure, to sets. It reviews classic results as well as recent progress on Ramsey numbers and the asymptotic behavior of classical Ramsey functions. In addition, it presents product versions of Ramsey's theorem, a combinatorial proof of the incompleteness of Peano arithmetic, provides a digression to discrepancy theory and examines extensions of Ramsey's theorem to larger cardinals. The next part of the book features an in-depth treatment of the Ramsey problem for graphs and hypergraphs. It gives an account on the existence of sparse and restricted Ramsey theorem's using sophisticated constructions as well as probabilistic methods. Among others it contains a proof of the induced Graham-Rothschild theorem and the random Ramsey theorem. The book closes with a chapter on one of the recent highlights of Ramsey theory: a combinatorial proof of the density Hales-Jewett theorem.

This book provides graduate students as well as advanced researchers with a solid introduction and reference to the field.