Ramanujan summation of divergent series

هدف این تک نگاری ارائه شرح مفصلی از روش جمع بندی است که رامانوجان در فصل ششم دفتر دوم خود استفاده می کند. این روش که توسط Ramanujan به عنوان کاربرد فرمول اویلر-مک لورین ارائه شده است، در اینجا با استفاده از یک معادله تفاوت در فضایی از توابع تحلیلی بسط داده شده است. این اثبات ساده ای از قضایای مجموع برخی سری های واگرا را ارائه می دهد. چندین مثال و کاربرد آورده شده است. برای ارزیابی عددی، فرمولی بر حسب سری همگرا با استفاده از درون یابی نیوتن ارائه شده است. ارتباط با سایر فرآیندهای جمع‌بندی مانند فرآیندهای بورل و اویلر نیز مورد مطالعه قرار گرفته است. در نهایت، در فصل آخر، یک نظریه صرفا جبری ایجاد شده است که همه این فرآیندهای جمع را یکپارچه می کند. هدف این مونوگراف دانشجویان و محققین فارغ التحصیل است که دانش پایه ای از نظریه توابع تحلیلی دارند.

The aim of this monograph is to give a detailed exposition of the summation method that Ramanujan uses in Chapter VI of his second Notebook. This method, presented by Ramanujan as an application of the Euler-MacLaurin formula, is here extended using a difference equation in a space of analytic functions. This provides simple proofs of theorems on the summation of some divergent series. Several examples and applications are given. For numerical evaluation, a formula in terms of convergent series is provided by the use of Newton interpolation. The relation with other summation processes such as those of Borel and Euler is also studied. Finally, in the last chapter, a purely algebraic theory is developed that unifies all these summation processes. This monograph is aimed at graduate students and researchers who have a basic knowledge of analytic function theory.