Radon Integrals: An abstract approach to integration and Riesz representation through function cones

در نظریه اندازه گیری توپولوژیکی، اندازه گیری های رادون مهمترین اشیا هستند. در زمینه فضاهای فشرده محلی، دو تعریف متعارف معادل وجود دارد. به عنوان یک تابع مجموعه، یک اندازه گیری رادون یک اندازه گیری بورل منظم فشرده درونی است که در مجموعه های فشرده محدود است. به عنوان تابعی، به سادگی یک فرم خطی مثبت است که بر روی شبکه برداری توابع با ارزش واقعی پیوسته با پشتیبانی فشرده تعریف شده است. در طول چند دهه اخیر، به ویژه به دلیل پیشرفت‌های نظریه احتمالات مدرن و فیزیک ریاضی، توجه به اقداماتی در فضاهای توپولوژیکی عمومی متمرکز شده است که دیگر به صورت محلی فشرده نیستند، به عنوان مثال. فضاهای توابع پیوسته یا توزیع های شوارتز. برای اندازه گیری رادون در فضای هاسدورف دلخواه، اساساً سه تعریف معادل پیشنهاد شده است: به عنوان یک تابع مجموعه، توسط L. Schwartz به عنوان یک اندازه گیری بورل منظم فشرده درونی که به صورت محلی محدود شده است، تعریف شد. G. Choquet آن را به عنوان یک محتوای پیوسته درست افزودنی قوی بر روی شبکه زیر مجموعه های فشرده در نظر گرفت. به دنبال P.A. Meyer، N. Bourbaki یک اندازه گیری رادون را به عنوان یک خانواده یکنواخت محلی از اشکال خطی مثبت سازگار تعریف کرد، که هر کدام بر روی شبکه برداری توابع پیوسته در برخی از زیر مجموعه های فشرده تعریف شده اند.

In topological measure theory, Radon measures are the most important objects. In the context of locally compact spaces, there are two equivalent canonical definitions. As a set function, a Radon measure is an inner compact regular Borel measure, finite on compact sets. As a functional, it is simply a positive linear form, defined on the vector lattice of continuous real-valued functions with compact support. During the last few decades, in particular because of the developments of modem probability theory and mathematical physics, attention has been focussed on measures on general topological spaces which are no longer locally compact, e.g. spaces of continuous functions or Schwartz distributions. For a Radon measure on an arbitrary Hausdorff space, essentially three equivalent definitions have been proposed: As a set function, it was defined by L. Schwartz as an inner compact regular Borel measure which is locally bounded. G. Choquet considered it as a strongly additive right continuous content on the lattice of compact subsets. Following P.A. Meyer, N. Bourbaki defined a Radon measure as a locally uniformly bounded family of compatible positive linear forms, each defined on the vector lattice of continuous functions on some compact subset.