Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires (Etudes mathematiques)

Table des matières......Page 7
Chapitre 1 Méthodes de compacité......Page 17
1.1 Position du problème......Page 20
1.2 Espaces fonctionnels......Page 21
1.3 Premier théorème d'existence......Page 24
1.4 Démonstration du Théorème 1.1......Page 25
1.5 Un théorème d'unicité......Page 30
1.6 Un résultat de régularité......Page 32
1.7 Un autre résultat de régularité. Bases spéciales......Page 36
1.8 Inégalité et égalité de l'énergie......Page 38
1.9 Remarques diverses......Page 43
2.1 Équation hyperbolique sans estimation a priori globale......Page 44
2.2 L'ensemble \mathcal{W}......Page 45
2.3 Théorème de stabilité......Page 48
2.4 Un théorème de non-existence......Page 50
2.5 Remarque......Page 53
3.2 Un théorème d'existence et d'unicité......Page 54
4.1 Les équations d'évolution......Page 59
4.2 Équations d'évolution modifiées......Page 66
4.3 Le cas stationnaire......Page 69
4.4 Cas stationnaire ; régularité......Page 72
5.2 Lemmes de compacité......Page 73
5.3 Application du Théorème 5.1......Page 78
6.1 Position du problème......Page 80
6.2 Le cas de la dimension d'espace 2. Unicité......Page 86
6.3 Base spéciale......Page 88
6.4 Démonstration du Théorème d'existence 6.1; première méthode......Page 91
6.5 Démonstration du Théorème d'existence 6.1 ; deuxième méthode......Page 93
6.6 Un théorème de régularité......Page 95
6.7 Un théorème d'existence globale de solution forte......Page 98
6.8 Un théorème d'unicité......Page 100
6.9 Dépendance en la viscosité......Page 102
7.1 Le problème homogène......Page 114
7.2 Le problème non homogène......Page 117
8.1 Position du problème......Page 122
8.2 Estimations a priori. Généralités......Page 123
8.3 Utilisation des estimations......Page 126
8.4 Énoncé du Théorème......Page 127
8.5 Démonstration du Lemme 8.1......Page 128
8.6 Démonstration de l'existence dans le Théorème 8.1......Page 131
8.7 Démonstration de l'unicité dans le Théorème 8.1......Page 135
9.1 Un problème de transmission parabolique-hyperbolique......Page 136
9.2 Équations couplées......Page 145
10.2 Théorème d'existence et unicité......Page 147
11.1 Position des problèmes......Page 150
11.2 Formulation sur la variété r......Page 151
11.3 Résultats......Page 152
11.4 Cas avec bord......Page 155
12.1 Position du problème......Page 156
12.2 Un résultat supplémentaire de compacité......Page 157
12.3 Résolution du problème......Page 160
13. Problèmes......Page 163
14. Commentaires......Page 164
Chapitre 2 Méthodes de monotonie et de monotonie et compacité......Page 169
1.1 Exemples. Le cas p > 2......Page 171
1.2 Démonstration de l'existence......Page 173
1.4 Un résultat général......Page 178
1.5 Applications des résultats généraux......Page 180
1.6 Résultats de régularité......Page 183
1.7 Somme d'opérateurs monotones......Page 184
2.1 Premier résultat général......Page 187
2.2 Un théorème d'unicité. Applications de dualité......Page 189
2.3 Exemples......Page 193
2.4 Les opérateurs pseudo-monotones......Page 195
2.5 Les opérateurs du Calcul des Variations. Étude axiomatique......Page 196
2.6 Les opérateurs du Calcul des Variations. Exemples......Page 198
3.1 Généralités......Page 206
3.2 Exemple. Problème non linéaire de la diffusion......Page 207
3.3 Problèmes à frontière libre......Page 212
4.2 Opérateur se......Page 220
5.1 Généralités. Position des problèmes......Page 223
5.2 Un théorème d'existence relatif au Problème 5.1......Page 225
5.3 Un théorème d'unicité......Page 232
5.4 Étude du Problème 5.3......Page 233
6.1 Position du Problème. Un théorème d'existence et d'unicité......Page 237
6.2 Démonstration de l'existence......Page 239
7.1 Généralités......Page 243
7.2 Un théorème d'existence pour « équations d'évolution abstraites »......Page 244
7.3 Applications (I). Équations paraboliques......Page 251
7.4 Applications (II). Problèmes périodiques......Page 252
7.5 Applications (III)......Page 253
7.6 Applications (IV)......Page 254
7.7 Remarques diverses......Page 256
8.1 Exemples et orientation......Page 257
8.2 Théorèmes d'existence pour les inéquations variationnelles elliptiques......Page 261
8.3 Ensemble des solutions......Page 264
8.4 Applications......Page 265
8.5 Variantes......Page 266
8.6 Interprétation des inéquations variationnelles avec les sous-différentielles......Page 269
8.7 Régularité......Page 271
8.8 Théorèmes de comparaison......Page 279
8.9 Un autre type d'exemples......Page 281
9.1 Position des problèmes......Page 282
9.2 Hypothèses de compatibilité. Exemples......Page 285
9.3 Théorème d'existence d'une solution « faible »......Page 287
9.4 Théorème d'unicité de solution « faible »......Page 292
9.5 Applications......Page 293
9.6 Théorèmes de régularité......Page 302
9.7 Remarques diverses......Page 310
10.1 Équations d'évolution......Page 314
11. Problèmes......Page 317
12. Commentaires......Page 321
Chapitre 3 Méthodes de régularisation et de pénalisation......Page 325
1.1 Orientation......Page 327
1.2 Lemmes de maximalisé......Page 329
1.3 Premier théorème d'existence par la régularisation elliptique......Page 332
1.4 Deuxième théorème d'existence par la régularisation elliptique......Page 335
2.1 Problèmes paraboliques généraux......Page 337
2.2 Problèmes paraboliques généraux. Solutions périodiques......Page 344
2.3 Systèmes hyperboliques non linéaires du 1er ordre......Page 345
2.4 Équations hyperboliques non linéaires du 1er ordre et équations de transport non linéaires......Page 347
2.5 Problèmes non linéaires de Schroedinger......Page 349
2.6 Une équation non linéaire changeant de type......Page 353
2.7 Problèmes paraboliques non linéaires dans des ouverts non cylindriques......Page 359
2.8 Problèmes non linéaires de type mêlé......Page 361
3.2 Un résultat général......Page 362
3.3 Applications......Page 370
4.1 Position du problème. Intégrales d'énergie......Page 377
4.2 Un théorème d'existence. Régularisation parabolique......Page 379
5.1 Orientation......Page 384
5.2 Opérateur de pénalisation......Page 386
5.3 Application de la pénalisation......Page 387
5.4 Exemples......Page 390
5.5 Résultats de régularité......Page 394
5.6 Remarques diverses......Page 396
6.1 Méthode générale......Page 397
6.2 Exemples et applications à la régularité......Page 401
6.3 Données initiales non nulles......Page 406
6.4 Problèmes unilatéraux (ou d'inéquations) pour les opérateurs de Navier-Stokes (I)......Page 410
6.5 Problèmes unilatéraux (ou d'inéquations) pour les opérateurs de Navier-Stokes (II)......Page 414
7.1 Opérateurs linéaires......Page 418
7.2 Exemples......Page 423
7.3 Exemples d'inéquations pour opérateurs linéaires hyperboliques......Page 425
8.1 Un exemple hyperbolique......Page 429
9.1 Approximation d'inéquations elliptiques par des inéquations paraboliques......Page 433
9.2 Nouveaux problèmes unilatéraux......Page 436
10.1 Équations multivoques hyperboliques......Page 438
11. Problèmes......Page 441
12. Commentaires......Page 442
Chapitre 4 Méthodes itératives. Solutions particulières......Page 445
1.1 Orientation......Page 447
1.2 Semi-discrétisation et inéquations variationnelles......Page 448
1.3 Semi-discrétisation spatiale ; application à une équation parabolique non linéaire dégénérée......Page 453
2.1 Un problème de T. Carleman. Énoncé du Théorème......Page 462
2.2 Démonstration de l'unicité......Page 464
2.3 Méthode de décomposition......Page 465
2.4 Estimations a priori......Page 467
2.5 Passage à la limite. Démonstration du Théorème d'existence......Page 472
3.1 Position du Problème. Énoncé du résultat......Page 475
3.2 Méthode de troncature......Page 476
3.3 Démonstration du Théorème 3.1......Page 477
3.4 Un exemple d'inéquation......Page 478
4.1 Orientation......Page 481
4.2 Équation de Navier-Stokes......Page 482
4.3 Équations sur une variété......Page 487
5.1 Généralités......Page 490
5.2 L'équation \frac{\partial u}{\partial t} - \Delta u - u^{1+\alpha} = 0......Page 491
5.3 Une équation intégro-différentielle non linéaire dans un espace du type de Gevrey......Page 494
6.1 Orientation......Page 498
6.2 Solutions périodiques des équations de Navier-Stokes......Page 499
6.3 Remarques sur les problèmes unilatéraux......Page 502
7.1 Orientation......Page 505
7.2 Résolution du problème (7.7) (7.8) par régularisation elliptique......Page 507
7.3 Solutions périodiques d'inéquations hyperboliques......Page 514
8.2 Solutions bornées sur R_t d'équations d'évolution paraboliques monotones......Page 521
8.3 Le cas des inéquations paraboliques......Page 527
9.1 Orientation......Page 531
9.2 Problèmes de contrôle sans contraintes......Page 532
9.3 Approximation par un problème d'évolution artificiel......Page 533
9.4 Découplage du problème d'évolution artificiel......Page 534
9.6 Exemples......Page 536
9.7 Remarques diverses......Page 538
10. Problèmes......Page 541
11. Commentaires......Page 543
Bibliographie......Page 547