Quadratic Forms in Infinite Dimensional Vector Spaces

حدود یک دهه است که من تلاش کرده ام تا فرم های درجه دوم را در فضاهای برداری با ابعاد نامتناهی بر روی حلقه های تقسیم دلخواه مطالعه کنم. در اینجا نیمی از نتایج بدست‌آمده در این دوره را به صورت سیستماتیک ارائه می‌کنیم، به‌طورکلی، نتایج مربوط به فضاهای بی‌نهایت (\" NO-forms") را ارائه می‌کنیم. البته برخی از نتایج موجود در اینجا در زمانی که آنها پیدا شدند، دیگران برای اولین بار ظاهر می شوند (مثلاً در فصل های IX، X، XII که در آن من نتایج موجود در پایان نامه های دکترا توسط دانشجویانم W. Allenspach، L. Brand، U. Schneider, M. Studer) اگر کسی بخواهد مقدمه ای بر جبر هندسی فضاهای درجه دوم بینهایت بعدی ارائه دهد، بحث در مورد فضاهای O-بعدی به طور ایده آل به این هدف عمل می کند. اول اینکه، این فضاها تعداد زیادی از پدیده های معمولی را نشان می دهند. ثانیاً، بیشتر اثبات‌ها را می‌توان با بازگشتی انجام داد که شبیه روش آشنای استقراء در موقعیت ابعاد محدود است. مشکلات توسط مصلحت های توپولوژیکی (در بعد NO، در یک مورد مشخص، به راحتی می توان دید که آیا زبان توپولوژیکی مناسب است یا نه).

For about a decade I have made an effort to study quadratic forms in infinite dimensional vector spaces over arbitrary division rings. Here we present in a systematic fashion half of the results found du­ ring this period, to wit, the results on denumerably infinite spaces (" NO-forms'''). Certain among the results included here had of course been published at the time when they were found, others appear for the first time (the case, for example, in Chapters IX, X , XII where I in­ clude results contained in the Ph.D.theses by my students W. Allenspach, L. Brand, U. Schneider, M. Studer). If one wants to give an introduction to the geometric algebra of infinite dimensional quadratic spaces, a discussion of N-dimensional O spaces ideally serves the purpose. First, these spaces show a large number of phenomena typical of infinite dimensional spaces. Second, most proofs can be done by recursion which resembles the familiar pro­ cedure by induction in the finite dimensional situation. Third, the student acquires a good feeling for the linear algebra in infinite di­ mensions because it is impossible to camouflage problems by topological expedients (in dimension NO it is easy to see, in a given case, wheth­ er topological language is appropriate or not).