Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma: Mathematische Temperierungstheorie in der Musik

Cover......Page 1
Pythagoras,
der Quintenwolf und
das Komma......Page 4
ISBN 9783834819208......Page 5
Für meine KinderChristine, Stefan und Peter......Page 6
Vorwort......Page 8
Inhaltsverzeichnis......Page 16
Kapitel 1  Grundlagen – Töne und Intervalle......Page 20
1.1 Töne: Schwingungen, Schwebungen, Monochordium......Page 21
1.2 Intervalle und Frequenzmaß, Viertönesatz und diatonisches Prinzip......Page 27
1.3 Adjunktion und Intervallarithmetik......Page 32
1.4 Das Centmaß für Intervalle......Page 39
1.5 Arithmetische, geometrische und harmonische Mittelung......Page 43
1.6 Konsonanz – Euler und Helmholtz......Page 50
1.7 Anhang: Geometrische Folgen – Intervalliteration......Page 52
Kapitel 2  Algebraische Strukturtheorie der Diatonik und Chromatik......Page 64
2.1 Einleitung......Page 65
2.2 Strukturformeln und Elementarintervalle quintgenerierter Skalen......Page 66
2.3 Die quintgenerierte diatonische Skala......Page 71
2.4 Die quintgenerierten chromatischen Skalen......Page 72
2.5 Die Tonartencharakteristik – Einbettung der Diatonik in die Chromatik......Page 82
2.6 Anhang: Cent-Schnellrechnung für Iterationsskalen und Beispiele......Page 88
Kapitel 3  Das pythagoräische Tonsystem......Page 92
3.1 Pythagoräische Skalen......Page 93
3.2 Historisches zum pythagoräischen System (P7)......Page 95
3.3 Pythagoräisches Komma und die Tonspirale......Page 101
3.4 Anhang: Satz von der Tondichte pythagoräischer Quintfolgen......Page 107
Kapitel 4 Das natürlich-harmonische System......Page 110
4.1 Die natürlichen Skalen: Diatonisch, chromatisch und enharmonisch......Page 111
4.1.1 Die 7-stufige (heptatonische, diatonische) Skala R7......Page 112
4.1.2 Die 12-stufige (chromatische) Skala R12......Page 113
4.1.3 Die 19-stufige (enharmonische) Skala R19......Page 115
4.1.4 Die 31-stufige Skala R31 von Mersenne......Page 118
4.2 Die Welt der Kommata: Historisch und mathematisch......Page 120
4.3.1 Das Tongitter von Leonhard Euler (Eulergitter)......Page 130
4.3.2 Prinzip von der Erhaltung der Tonika......Page 132
4.3.3 Einfach superpartikulare Intervalle......Page 135
4.4 Anhang I: Die „Reine Großterz-Skala“......Page 136
4.5 Anhang II: Abstrakte Mikroton-Arithmetik der diatonischen Oktave......Page 139
Kapitel 5 
Mitteltönigkeit......Page 146
5.1 Einleitung......Page 147
5.2 Mitteltönigkeit und Dur-Terz-Prinzip......Page 150
5.3 Mitteltönigkeit und Moll-Terz-Prinzip......Page 156
5.4.1 Geometrie und Mitteltönigkeit......Page 159
5.4.2 Mitteltönigkeit und Goldener Schnitt......Page 160
5.4.3 Die mitteltönige Tonspirale und der Tonverteilungssatz......Page 161
5.4.4 Orthogonio und Mesolabio des Zarlino......Page 163
Kapitel 6 
Historische Temperaturen......Page 166
6.1 Einleitung......Page 167
6.2 Henri Arnault de Zwolle: Der Pythagoräiker......Page 169
6.3 Arnold Schlick: Mitteltönigkeit fast pur......Page 170
6.4 Leonhard Euler und Johannes Kepler: Auswahlsysteme imreinen Gitter......Page 172
6.5 Johann Philipp Kirnberger: Das geniale Auswahlsystem......Page 173
6.6 Andreas Werckmeister: Meister der Ausgleichung......Page 176
6.7 Gioseffo Zarlino: Neue Quinten mit Komma-Siebtel......Page 178
6.8 Gottfried Silbermann: Der gespiegelte Pythagoras......Page 182
Kapitel 7  ETS – Gleichstufige Temperierung......Page 188
7.1 Einleitung......Page 189
7.2 Die gleichstufigen Skalen......Page 191
7.3 Kombinatorik und Algebra der ETS-Skalen......Page 193
7.4 Daniel Strähle und seine merkwürdig-geniale Gitarren-Stimmung......Page 200
7.5 Dynamik der Gleichstufigkeit: Christoph Gottlieb Schröter und die moderne Eigenwerttheorie......Page 205
Kapitel 8  Analytische Theorie der Iterationsskalen......Page 210
8.1 Einleitung......Page 211
8.2 Modelle der Intervalliterationen......Page 212
8.3 Reoktavierte Tonfolgen......Page 217
8.4 Periodische und nichtperiodische Iterationen......Page 222
8.5 Intervall-Kombinatorik der Tonspirale......Page 227
8.6 Eulersche Centfunktion – Töne als Winkel......Page 232
8.7 Der Tonverteilungssatz – Theorem von Levy......Page 239
Nachwort......Page 246
Bilderverzeichnis......Page 248
Tabellenverzeichnis......Page 252
Literaturverzeichnis......Page 254
Formeln – Sätze – Kernaussagen......Page 256
Stichwortverzeichnis......Page 258