Pseudodifferential Methods in Number Theory

به طور کلاسیک به عنوان ابزاری برای معادلات دیفرانسیل جزئی توسعه یافته است، تجزیه و تحلیل عملگرهایی که به عنوان تجزیه و تحلیل شبه دیفرانسیل شناخته می شوند، در اینجا به عنوان کمک احتمالی در سؤالات حساب در نظر گرفته می شود. عملگرهایی که موضوع اصلی کتاب را تشکیل می‌دهند را می‌توان از نظر حساب همخوانی مشخص کرد. آنها از ساختار اویلری لذت می برند و برای جستجوی شرایط جدید معادل فرضیه ریمان به کار می روند. اینها شامل اعتبار تخمین‌های وابسته به پارامتر خاص برای یک کلاس از اشکال هرمیتی با رتبه محدود است. معیار لیتل‌وود، شامل مجموع ضرایب موبیوس، و فرمول به‌اصطلاح صریح ویل، که به معیار مثبت بودن او منتهی می‌شود، با استفاده از محاسبات شبه دیفرانسیل ویل و در مورد دوم فوکس، در این طرح قرار می‌گیرند.

این کتاب باید برای افرادی که به دنبال رویکردهای ممکن جدید برای فرضیه ریمان هستند، همچنین دیدگاه‌های جدید در مورد تحلیل شبه دیفرانسیل و نحوه ترکیب آن با نظریه فرم مدولار، مورد علاقه باشد. تحلیلگران با جنبه‌های حسابی مشکلی نخواهند داشت، زیرا به جز موارد استثنایی، هیچ آشنایی قبلی با آن لازم نیست.

Classically developed as a tool for partial differential equations, the analysis of operators known as pseudodifferential analysis is here regarded as a possible help in questions of arithmetic. The operators which make up the main subject of the book can be characterized in terms of congruence arithmetic. They enjoy a Eulerian structure, and are applied to the search for new conditions equivalent to the Riemann hypothesis. These consist in the validity of certain parameter-dependent estimates for a class of Hermitian forms of finite rank. The Littlewood criterion, involving sums of Möbius coefficients, and the Weil so-called explicit formula, which leads to his positivity criterion, fit within this scheme, using in the first case Weyl's pseudodifferential calculus, in the second case Fuchs'.

The book should be of interest to people looking for new possible approaches to the Riemann hypothesis, also to new perspectives on pseudodifferential analysis and on the way it combines with modular form theory. Analysts will have no difficulty with the arithmetic aspects, with which, save for very few exceptions, no previous acquaintance is necessary.