Projective Geometry and Formal Geometry

هدف این تک نگاری آشنا کردن خواننده با روش های مدرن هندسه تصویری است که شامل تکنیک های خاصی از هندسه رسمی است. برخی از این روش‌ها در بخش اول از طریق اثبات تعدادی از نتایج یک طعم نسبتاً کلاسیک نشان داده شده‌اند، که به روشی مهم اولین همسایگی بینهایت کوچک یک زیرنوع معین در یک تنوع محیطی را شامل می‌شود. با انگیزه بخش اول، در توابع رسمی دوم در تکمیل رسمی X/Y X در امتداد یک زیر تنوع بسته Y مورد مطالعه قرار می‌گیرند، به ویژه مسئله گسترش توابع صوری به توابع منطقی.
طرح رسمی X/Y، که توسط Zariski و Grothendieck در دهه 1950 به هندسه جبری معرفی شد، شبیه مفهوم همسایگی لوله‌ای یک زیرمنیفولد یک منیفولد پیچیده است. برای مطالعه تعبیه Y\ زیر مجموعه X بسیار مناسب است. رابطه عمیق هندسه صوری با مهمترین قضایای اتصال در هندسه جبری یا با هندسه پیچیده نیز مورد مطالعه قرار گرفته است. برخی از روش‌های رسمی به تصویر کشیده شده‌اند و در فضاهای همگن به کار می‌روند.
کتاب حاوی نتایج زیادی است که در طول سی سال گذشته به‌دست آمده است، که بسیاری از آنها هرگز در یک تک نگاری یا کتاب درسی ظاهر نشدند. این خطاب به هندسه‌سنج‌های جبری و همچنین علاقه‌مندان به استفاده از روش‌های هندسه جبری است.

The aim of this monograph is to introduce the reader to modern methods of projective geometry involving certain techniques of formal geometry. Some of these methods are illustrated in the first part through the proofs of a number of results of a rather classical flavor, involving in a crucial way the first infinitesimal neighbourhood of a given subvariety in an ambient variety. Motivated by the first part, in the second formal functions on the formal completion X/Y of X along a closed subvariety Y are studied, particularly the extension problem of formal functions to rational functions.
The formal scheme X/Y, introduced to algebraic geometry by Zariski and Grothendieck in the 1950s, is an analogue of the concept of a tubular neighbourhood of a submanifold of a complex manifold. It is very well suited to study the given embedding Y\subset X. The deep relationship of formal geometry with the most important connectivity theorems in algebraic geometry, or with complex geometry, is also studied. Some of the formal methods are illustrated and applied to homogeneous spaces.
The book contains a lot of results obtained over the last thirty years, many of which never appeared in a monograph or textbook. It addresses to algebraic geometers as well as to those interested in using methods of algebraic geometry.