Polynomials

این کتاب جامع هم نتایج دیرینه در نظریه چندجمله‌ای‌ها و هم پیشرفت‌های اخیر را پوشش می‌دهد که تاکنون فقط در ادبیات تحقیقاتی موجود بوده است. پس از فصل‌های اولیه در مورد مکان و جداسازی ریشه‌ها و معیارهای تقلیل‌ناپذیری، این کتاب چند جمله‌ای‌های تخصصی‌تر را پوشش می‌دهد، از جمله آن‌هایی که متقارن، اعداد صحیح یا سیکلوتومیک هستند، و موارد چبیشف و برنولی. در ادامه فصل هایی در مورد نظریه گالوا و ایده آل ها در حلقه های چند جمله ای وجود دارد. در نهایت بحث مفصلی در مورد مسئله 17^ام هیلبرت در مورد نمایش چندجمله ای های غیر منفی به عنوان مجموع مجذورهای توابع گویا و تعمیم ها وجود دارد.

از بررسی ها:

\"... علیرغم ظاهر شدن این کتاب در مجموعه ای با عنوان الگوریتم ها و محاسبات ریاضیات، محاسبات تنها بخش کوچکی از تک نگاری را به خود اختصاص داده است. بهتر است به عنوان یک مرجع مفید برای مجموعه شخصی فرد و متنی برای یک دوره تمام سال که به دانشجویان فارغ التحصیل یا حتی ارشد در مقطع کارشناسی داده می شود، توصیف شود. [.....] کتاب مورد بررسی ارزش خرید برای کتابخانه و احتمالاً حتی برای علاقه نویسنده به تاریخ و توسعه این منطقه مشهود است و ما اجمالی خوشایند از پیشرفت در سه قرن اخیر داریم.او قضاوت خوبی در گزینش استدلال ها با توجه به بازنمایی رویکردها و ظرافت دارد. به طوری که خواننده خلاصه ای از ادبیات و راهنمای آن را به دست آورد که در آن جزئیات بیشتری را می توان یافت. ...\"

E. Barbeau, SIAM Review 47, No. 3, 2005

\"... این جلد مملو از نتایج و شواهدی است که به خوبی از نظر موضوعی در فصل ها و بخش ها سازماندهی شده اند. آنچه غیرعادی است داشتن متنی است که هر دو جنبه تحلیلی و جبری نظریه را در بر می گیرد و آن را در هم می آمیزد.اگرچه موضوع در مورد چنین ابژه های اساسی است، اما بسیاری از نتایج سخت کلیت قابل توجهی در آن گنجانده شده است و قابل توجه است که اصلاحات، هم در قضایا و هم در براهین در سراسر بخش پایانی قرن بیستم ادامه یافت. مشکلات فراوانی وجود دارد که برخی از آنها ممکن است حتی برای افراد چند جمله ای چالش برانگیز باشد؛ راه حل هایی برای مسائل انتخابی نیز گنجانده شده است.

\"مسائل مربوط به چندجمله‌ای‌ها به‌طور تکانه‌ای همراه با توسعه جبر از همان آغاز تا امروز بوده و در طول قرن‌ها گوهرهای ریاضی زیادی آشکار شده است. این کتاب تعدادی از آنها را ارائه می‌کند. برخی کلاسیک هستند، اما تا حدی روابط عمومی احتمالاً حتی برای کارشناسان ناشناخته است، برخی از آنها کاملاً اخیراً کشف شده اند. [...] بسیاری از نظرات تاریخی و سبک روشن کتاب را بسیار خواندنی می کند، بنابراین می توان آن را به گرمی به افراد غیر متخصص در مقطع کارشناسی و به دلیل محتوای آن به متخصصان توصیه کرد.\"

This comprehensive book covers both long-standing results in the theory of polynomials and recent developments which have until now only been available in the research literature. After initial chapters on the location and separation of roots and on irreducibility criteria, the book covers more specialized polynomials, including those which are symmetric, integer-value or cyclotomic, and those of Chebyshev and Bernoulli. There follow chapters on Galois theory and ideals in polynomial rings. Finally there is a detailed discussion of Hilbert’s 17^th problem on the representation of non-negative polynomials as sums of squares of rational functions and generalizations.

From the reviews:

"... Despite the appearance of this book in a series titled Algorithms and Computation of Mathematics, computation occupies only a small part of the monograph. It is best described as a useful reference for one's personal collection and a text for a full-year course given to graduate or even senior undergraduate students. [.....] the book under review is worth purchasing for the library and possibly even for one's own collection. The author's interest in the history and development of this area is evident, and we have pleasant glimpses of progress over the last three centuries. He exercises nice judgment in selection of arguments, with respect to both representativeness of approaches and elegance, so that the reader gains a synopsis of and guide to the literature, in which more detail can be found. ..."

E. Barbeau, SIAM Review 47, No. 3, 2005

"... the volume is packed with results and proofs that are well organised thematically into chapters and sections. What is unusual is to have a text that embraces and intermingles both analytic and algebraic aspects of the theory. Although the subject is about such basic objects, many tough results of considerable generality are incorporated and it is striking that refinements, both in theorems and proofs continued throughout the latter part of the Twentieth Century. [...] There is a plentiful of problems, some of which might be challenging even for polynomial people; solutions to selected problems are also included."

S.D.Cohen, MathSciNet, MR 2082772, 2005

"Problems concerning polynomials have impulsed resp. accompanied the development of algebra from its very beginning until today and over the centuries a lot of mathematical gems have been brought to light. This book presents a few of them, some being classical, but partly probably unknown even to experts, some being quite recently discovered. […] Many historical comments and a clear style make the book very readable, so it can be recommended warmly to non-experts already at an undergraduate level and, because of its contents, to experts as well."

G.Kowol, Monatshefte für Mathematik 146, Issue 4, 2005