Polyharmonic Boundary Value Problems: Positivity Preserving and Nonlinear Higher Order Elliptic Equations in Bounded Domains

این تک نگاری مسائل ارزش مرزی خطی و غیرخطی بیضوی مرتبه بالاتر را در حوزه های محدود، عمدتاً با عملگر بی هارمونیک یا چند هارمونیک به عنوان بخش اصلی، پوشش می دهد. مدل‌های اساسی و به‌ویژه نقش شرایط مرزی مختلف به تفصیل توضیح داده شده‌اند. در مورد مسائل خطی، پس از یک خلاصه مختصر از نظریه وجود و تخمین های Lp و Schauder، تمرکز بر روی مثبت بودن است یا - از آنجایی که برخلاف معادلات مرتبه دوم، شکل کلی یک اصل مقایسه وجود ندارد - روی "مثبت نزدیک". " برآوردهای هسته مورد نیاز نیز به تفصیل ارائه شده است. در رابطه با مسائل غیرخطی، چندین تکنیک شناخته شده از معادلات درجه دوم قابل استفاده نیستند و باید با روش های جدید و متفاوت جایگزین شوند. غیرخطی های زیربحرانی، بحرانی و فوق بحرانی مورد بحث قرار گرفته و نتایج مختلف وجود و عدم اثبات شده است. تعامل با مبحث مثبت از بخش اول تاکید شده است و علاوه بر این، یک نتیجه تقارن از نوع گیداس-نی-نیرنبرگ گسترده گنجانده شده است. در نهایت، برخی از پیشرفت‌های اخیر در مسئله دیریکله برای سطوح ویلمور تحت فرضیات تقارن مورد بحث قرار گرفته است.

This monograph covers higher order linear and nonlinear elliptic boundary value problems in bounded domains, mainly with the biharmonic or poly-harmonic operator as leading principal part. Underlying models and, in particular, the role of different boundary conditions are explained in detail. As for linear problems, after a brief summary of the existence theory and Lp and Schauder estimates, the focus is on positivity or - since, in contrast to second order equations, a general form of a comparison principle does not exist - on “near positivity.” The required kernel estimates are also presented in detail. As for nonlinear problems, several techniques well-known from second order equations cannot be utilized and have to be replaced by new and different methods. Subcritical, critical and supercritical nonlinearities are discussed and various existence and nonexistence results are proved. The interplay with the positivity topic from the first part is emphasized and, moreover, a far-reaching Gidas-Ni-Nirenberg-type symmetry result is included. Finally, some recent progress on the Dirichlet problem for Willmore surfaces under symmetry assumptions is discussed.