Philosophy of Mathematics Today

ریاضیات اغلب به عنوان مجموعه‌ای از دانش در نظر گرفته می‌شود که اساساً مستقل از فرمول‌های زبانی است، به این معنا که پس از درک محتوای این دانش، تنها مشکل توانایی حرفه‌ای، یعنی فرمول‌بندی و فرمول‌بندی واضح باقی می‌ماند. به درستی آن را ثابت کند با این حال، سؤال چندان ساده نیست و مقاله پی. وینگارتنر (زبان و کدگذاری-وابستگی نتایج در منطق و ریاضیات ریاضی) به نتایجی در منطق و ریاضیات می پردازد که نشان می دهد برخی مفاهیم به طور کلی نسبت به مفاهیم مختلف تغییر ناپذیر نیستند. انتخاب زبان و فرآیندهای کدگذاری پنج مثال آورده شده است: 1) اعتبار بدیهیات و قواعد منطق گزاره ای کلاسیک به تفسیر متغیرهای جمله ای بستگی دارد. 2) وابستگی زبانی حقیقت; 3) اثبات قضایای ضعیف و قوی ضد استقرایی در نظریه پشتوانه استقرایی پوپر با توجه به معیارهای محدودکننده منطق کلاسیک ثابت نیست. 4) وابستگی زبانی مفهوم اثبات پذیری. 5) وابستگی زبانی وجود جملات بی اساس و متناقض (به معنای کریپکه). الزامات دقت و سازگاری منطقی تنها معیار پذیرش و قدردانی از گزاره‌ها و نظریه‌های ریاضی نیست.

Mathematics is often considered as a body of knowledge that is essen­ tially independent of linguistic formulations, in the sense that, once the content of this knowledge has been grasped, there remains only the problem of professional ability, that of clearly formulating and correctly proving it. However, the question is not so simple, and P. Weingartner's paper (Language and Coding-Dependency of Results in Logic and Mathe­ matics) deals with some results in logic and mathematics which reveal that certain notions are in general not invariant with respect to different choices of language and of coding processes. Five example are given: 1) The validity of axioms and rules of classical propositional logic depend on the interpretation of sentential variables; 2) The language­ dependency of verisimilitude; 3) The proof of the weak and strong anti­ inductivist theorems in Popper's theory of inductive support is not invariant with respect to limitative criteria put on classical logic; 4) The language-dependency of the concept of provability; 5) The language­ dependency of the existence of ungrounded and paradoxical sentences (in the sense of Kripke). The requirements of logical rigour and consistency are not the only criteria for the acceptance and appreciation of mathematical proposi­ tions and theories.