Periodic Solutions of the N-Body Problem

مسئله N-body نمونه اولیه یک سیستم همیلتونی با یک گروه تقارن بزرگ و بسیاری از انتگرال های اولیه است. این یادداشت های سخنرانی مقدمه ای بر تئوری راه حل های تناوبی چنین سیستم های همیلتونی است. از نقطه نظر عمومی مشکل N-body بسیار انحطاط است. تحت گروه تقارن حرکات اقلیدسی ثابت است و تکانه خطی، تکانه زاویه ای و انرژی را به عنوان انتگرال می پذیرد. بنابراین، انتگرال ها و تقارن ها باید رودررو با هم روبرو شوند، که منجر به تعریف فضای کاهش یافته می شود که در آن تمام انتگرال ها و تقارن های شناخته شده حذف شده اند. در فضای کاهش یافته است که می توان به یک ژاکوبین غیرمفرد بدون تحمیل تقارن های اضافی امیدوار بود. این یادداشت های سخنرانی برای دانشجویان فارغ التحصیل و محققان در ریاضیات یا مکانیک سماوی با دانشی از نظریه ODE یا نظریه سیستم دینامیکی در نظر گرفته شده است. شش فصل اول نظریه سیستم‌های همیلتونی، تبدیل‌ها و مختصات نمادین، راه‌حل‌های تناوبی و ضرب‌کننده‌های آن‌ها، مقیاس‌بندی نمادین، فضای کاهش‌یافته و غیره را توسعه می‌دهد. فضای کاهش یافته است.

The N-body problem is the classical prototype of a Hamiltonian system with a large symmetry group and many first integrals. These lecture notes are an introduction to the theory of periodic solutions of such Hamiltonian systems. From a generic point of view the N-body problem is highly degenerate. It is invariant under the symmetry group of Euclidean motions and admits linear momentum, angular momentum and energy as integrals. Therefore, the integrals and symmetries must be confronted head on, which leads to the definition of the reduced space where all the known integrals and symmetries have been eliminated. It is on the reduced space that one can hope for a nonsingular Jacobian without imposing extra symmetries. These lecture notes are intended for graduate students and researchers in mathematics or celestial mechanics with some knowledge of the theory of ODE or dynamical system theory. The first six chapters develops the theory of Hamiltonian systems, symplectic transformations and coordinates, periodic solutions and their multipliers, symplectic scaling, the reduced space etc. The remaining six chapters contain theorems which establish the existence of periodic solutions of the N-body problem on the reduced space.