Partial Differential Equations VII: Spectral Theory of Differential Operators

§18 اپراتور با ضرایب تقریباً دوره ای . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 18. 1. تعاریف عمومی. خود پیوستگی ضروری. . . . . . . . . . . . 186 18. 2. خصوصیات عمومی طیف و توابع ویژه. . . . 188 18. 3. طیف عملگر شرودینگر یک بعدی با پتانسیل تقریباً دوره ای. . . . . . . . . . . . . . 192 18. 4. چگالی حالات یک اپراتور با ضرایب تقریباً دوره ای. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 18. 5. تفسیر چگالی حالتها با کمک فون نیومن ایجبراس و خواص آن. . . . . . . . . . . . . . 199 §19 اپراتورها با ضرایب تصادفی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 19. 1. ترجمه فیلدهای تصادفی همگن . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 19. 2. عملگرهای دیفرانسیل تصادفی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 19. 3. ذات الصلاحیت و طیف. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 19. 4. تراکم ایالات. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 19. 5. شخصیت طیف. Anderson Localization 220 §20 Non-Self-Adjoint Differential Operators که نزدیک به Self-Adjoint One هستند. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 20. 1. ملاحظات مقدماتی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 20. 2. مثال های اساسی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 20. 3. قضایای کاملیت . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 20. 4. قضایای بسط و جمع پذیری. رفتار مجانبی طیف . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 20. 5. کاربرد برای دیفرانسیل اپراتورها. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 نظر در مورد ادبیات . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 مرجع. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 نمایه نویسنده 262 موضوع فهرست 265 مقدمه نظریه طیفی عملگرها در یک فضای محدود بعد برای اولین بار در ارتباط با توصیف فرکانس ارتعاشات کوچک سیستم های مکانیکی من ظاهر شد (به Arnol'd et al. 1985 مراجعه کنید). هنگامی که ارتعاشات ریسمان در نظر گرفته می شود، یک مشکل ارزش ویژه ساده برای یک اپراتور دیفرانسیل ایجاد می شود. در مورد یک رشته همگن، استفاده از نظریه کلاسیک 6 مقدمه سری فوریه کافی است.

§18 Operators with Almost Periodic Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 18. 1. General Definitions. Essential Self-Adjointness . . . . . . . . . . . . 186 18. 2. General Properties of the Spectrum and Eigenfunctions . . . . 188 18. 3. The Spectrum of the One-Dimensional Schrödinger Operator with an Almost Periodic Potential . . . . . . . . . . . . . . 192 18. 4. The Density of States of an Operator with Almost Periodic Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 18. 5. Interpretation of the Density of States with the Aid of von Neumann Aigebras and Its Properties . . . . . . . . . . . . . . 199 §19 Operators with Random Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 19. 1. Translation Homogeneous Random Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 19. 2. Random DifferentialOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 19. 3. Essential Self-Adjointness and Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 19. 4. Density of States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 19. 5. The Character of the Spectrum. Anderson Localization 220 §20 Non-Self-Adjoint Differential Operators that Are Close to Self-Adjoint Ones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 20. 1. Preliminary Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 20. 2. Basic Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 20. 3. Completeness Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 20. 4. Expansion and Summability Theorems. Asymptotic Behaviour of the Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 20. 5. Application to DifferentialOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Comments on the Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Author Index 262 Subject Index 265 Preface The spectral theory of operators in a finite-dimensional space first appeared in connection with the description of the frequencies of small vibrations of me­ chanical systems (see Arnol'd et al. 1985). When the vibrations of astring are considered, there arises a simple eigenvalue problem for a differential opera­ tor. In the case of a homogeneous string it suffices to use the classical theory 6 Preface of Fourier series.