Partial Differential Equations V: Asymptotic Methods for Partial Differential Equations

در این مقاله، ساخت راه‌حل‌های نامنظم موج کوتاه رسمی مسائل فیزیک ریاضی را مورد بحث قرار خواهیم داد. موضوع بسیار گسترده است. می توان آن را تا حدودی به سه بخش تقسیم کرد: 1. یافتن مجانبی موج کوتاه دسته نسبتاً محدودی از مسائل، که راه حلی را به شکل صریح می پذیرند، از طریق فرمول هایی که این راه حل را نشان می دهند. 2. یافتن جواب مجانبی رسمی معادلات که فرآیندهای موجی را با استناد به برخی از ansatz یا موارد دیگر توصیف می کنند. ما توضیح می دهیم که 2 به چه معناست. دادن ansatz دانستن نحوه ارائه فرمولی برای راه حل مجانبی مورد نظر در قالب یک سری یا برخی عبارت های حاوی یک سری است که در آن ماهیت تحلیلی عبارات این سری ها تا توابع و ضرایبی که در آن تعیین نشده اند نشان داده می شود. مرحله اول بررسی مرحله دوم تعیین این توابع و ضرایب با استفاده از جایگزینی مستقیم ansatz در معادله، شرایط مرزی و شرایط اولیه است. گاهی اوقات لازم است از ansiitze های مختلف در حوزه های مختلف استفاده شود و در قسمت های همپوشانی این حوزه ها راه حل های مجانبی رسمی باید مجانبی معادل باشند (روش بسط مجانبی همسان). اساس موفقیت در جستجوی راه حل های مجانبی رسمی، انتخاب مناسب ansiitze است. مطالعه مجانبی راه‌حل‌های صریح مسائل مدل خاص به ما امکان می‌دهد تا \"فرض\" کنیم که پاسخ صحیح برای راه‌حل کلی چیست.

In this paper we shall discuss the construction of formal short-wave asymp­ totic solutions of problems of mathematical physics. The topic is very broad. It can somewhat conveniently be divided into three parts: 1. Finding the short-wave asymptotics of a rather narrow class of problems, which admit a solution in an explicit form, via formulas that represent this solution. 2. Finding formal asymptotic solutions of equations that describe wave processes by basing them on some ansatz or other. We explain what 2 means. Giving an ansatz is knowing how to give a formula for the desired asymptotic solution in the form of a series or some expression containing a series, where the analytic nature of the terms of these series is indicated up to functions and coefficients that are undetermined at the first stage of consideration. The second stage is to determine these functions and coefficients using a direct substitution of the ansatz in the equation, the boundary conditions and the initial conditions. Sometimes it is necessary to use different ansiitze in different domains, and in the overlapping parts of these domains the formal asymptotic solutions must be asymptotically equivalent (the method of matched asymptotic expansions). The basis for success in the search for formal asymptotic solutions is a suitable choice of ansiitze. The study of the asymptotics of explicit solutions of special model problems allows us to "surmise" what the correct ansiitze are for the general solution.