Ordinary and Stochastic Differential Geometry as a Tool for Mathematical Physics

روش‌های هندسی در فیزیک ریاضی مدرن و پیشرفت‌های هندسه و تحلیل جهانی با انگیزه مسائل فیزیکی به شدت در ریاضیات معاصر کار می‌کنند. به طور خاص، در طول دهه های گذشته شاخه جدیدی از تجزیه و تحلیل جهانی، هندسه دیفرانسیل تصادفی، برای پاسخگویی به نیازهای فیزیک ریاضی شکل گرفت. با بسیاری از معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم مختلف در منیفولدهای محدود و بی‌بعدی که در فیزیک به وجود می‌آیند، سروکار دارد و اعتبار آن مبتنی بر رابطه عمیق بین هندسه دیفرانسیل مدرن و بخش‌های خاصی از نظریه فرآیندهای تصادفی است که نه چندان کشف شده است. خیلی وقت پیش. اساس موضوع ما در ادبیات ریاضی معاصر توسط بسیاری از انتشارات اختصاص داده شده به بخش های خاصی از موضوعات فوق الذکر و مرتبط با دامنه مطالب این کتاب ارائه شده است. چند تک نگاری در مورد معادلات دیفرانسیل تصادفی در منیفولدها (به عنوان مثال [9،36،38،87]) بر اساس رویکرد استراتونوویچ وجود دارد. در [7] شرح مفصلی از معادلات It6 در منیفولدها به شکل Belopolskaya-Dalecky وجود دارد. کتاب نلسون [94] به مکانیک تصادفی و مشتقات میانگین در منیفولدهای ریمانی می پردازد. کتابها و مقالات بررسی در مورد رویکرد لاگرانژ به هیدرودینامیک [2،31،73،88]، و غیره، ارائه خوبی از استفاده از هندسه دیفرانسیل معمولی بینهایت بعدی در هیدرودینامیک ایده آل ارائه می دهند. همچنین در اینجا باید به [89،102]، به کتابهای قبلی نویسنده [53،64] و بسیاری دیگر مراجعه کنیم.

The geometrical methods in modem mathematical physics and the developments in Geometry and Global Analysis motivated by physical problems are being intensively worked out in contemporary mathematics. In particular, during the last decades a new branch of Global Analysis, Stochastic Differential Geometry, was formed to meet the needs of Mathematical Physics. It deals with a lot of various second order differential equations on finite and infinite-dimensional manifolds arising in Physics, and its validity is based on the deep inter-relation between modem Differential Geometry and certain parts of the Theory of Stochastic Processes, discovered not so long ago. The foundation of our topic is presented in the contemporary mathematical literature by a lot of publications devoted to certain parts of the above-mentioned themes and connected with the scope of material of this book. There exist some monographs on Stochastic Differential Equations on Manifolds (e. g. [9,36,38,87]) based on the Stratonovich approach. In [7] there is a detailed description of It6 equations on manifolds in Belopolskaya-Dalecky form. Nelson's book [94] deals with Stochastic Mechanics and mean derivatives on Riemannian Manifolds. The books and survey papers on the Lagrange approach to Hydrodynamics [2,31,73,88], etc. , give good presentations of the use of infinite-dimensional ordinary differential geometry in ideal hydrodynamics. We should also refer here to [89,102], to the previous books by the author [53,64], and to many others.