Optimization and Dynamical Systems

این کار برای دانشجویان و محققین کارشناسی ارشد ریاضیات و مهندسی در زمینه‌های بهینه‌سازی، سیستم‌های دینامیکی، سیستم‌های کنترل، پردازش سیگنال و جبر خطی است. انگیزه نتایج توسعه‌یافته در اینجا از برنامه‌های مهندسی پیشرفته و ظهور ماشین‌های محاسباتی بسیار موازی برای مقابله با چنین برنامه‌هایی ناشی می‌شود. مسائل حل شده مربوط به جبر خطی و سیستم های خطی نظریه است، و شامل موضوعاتی مانند مورب کردن یک ماتریس متقارن، تجزیه مقدار منفرد، تحقق متعادل، برنامه ریزی خطی، به حداقل رساندن حساسیت، و تخصیص ارزش ویژه توسط کنترل بازخورد است. ابزارها، نه تنها جبر خطی و نظریه سیستم ها، بلکه هندسه دیفرانسیل نیز هستند. مشکلات از طریق پیاده‌سازی سیستم‌های دینامیکی، چه در زمان پیوسته یا گسسته، حل می‌شوند، که به طور ایده‌آل برای پردازش موازی توزیع شده مناسب است. مشکلات حل شده به طور غیر مستقیم یا مستقیم به خود سیستم های دینامیکی مربوط می شود، بنابراین بازخوردی وجود دارد که سیستم های دینامیکی برای درک و بهینه سازی سیستم های دینامیکی استفاده می شوند. یکی از کلیدهای نتایج تحقیقات جدید، کشف اخیر وجود نسبتاً عمیق و نتایج منحصر به فرد برای حل مسائل بهینه‌سازی حداقل مربعات ماتریس در تئوری ثابت هندسی است. این مسائل، و همچنین بسیاری دیگر از مسائل بهینه‌سازی که در جبر خطی و نظریه سیستم‌ها به وجود می‌آیند، همیشه راه‌حل‌هایی را نمی‌پذیرند که بتوان با روش‌های جبری پیدا کرد.

This work is aimed at mathematics and engineering graduate students and researchers in the areas of optimization, dynamical systems, control sys­ tems, signal processing, and linear algebra. The motivation for the results developed here arises from advanced engineering applications and the emer­ gence of highly parallel computing machines for tackling such applications. The problems solved are those of linear algebra and linear systems the­ ory, and include such topics as diagonalizing a symmetric matrix, singular value decomposition, balanced realizations, linear programming, sensitivity minimization, and eigenvalue assignment by feedback control. The tools are those, not only of linear algebra and systems theory, but also of differential geometry. The problems are solved via dynamical sys­ tems implementation, either in continuous time or discrete time , which is ideally suited to distributed parallel processing. The problems tackled are indirectly or directly concerned with dynamical systems themselves, so there is feedback in that dynamical systems are used to understand and optimize dynamical systems. One key to the new research results has been the recent discovery of rather deep existence and uniqueness results for the solution of certain matrix least squares optimization problems in geomet­ ric invariant theory. These problems, as well as many other optimization problems arising in linear algebra and systems theory, do not always admit solutions which can be found by algebraic methods.