Optimal stochastic control, stochastic target problem, and backward SDE

​این کتاب برخی از پیشرفت‌های اخیر در نظریه کنترل تصادفی را با کاربردهایی در ریاضیات مالی جمع‌آوری می‌کند. ما ابتدا به مشکلات کنترل تصادفی استاندارد از دیدگاه اصل برنامه‌نویسی پویا ضعیف اخیراً توسعه یافته می‌پردازیم. تاکید ویژه ای بر مسائل مربوط به نظم و به ویژه بر رفتار تابع ارزش در نزدیکی مرز است. سپس مروری سریع از ابزارهای اصلی از محلول‌های ویسکوزیته ارائه می‌کنیم که امکان غلبه بر همه مشکلات نظم را فراهم می‌کند. ما در مرحله بعد به کلاس مسائل هدف تصادفی می پردازیم که به روشی غیرمعمول مسائل کنترل تصادفی استاندارد را گسترش می دهد. در اینجا تئوری راه حل های ویسکوزیته نقش مهمی در استخراج معادله برنامه ریزی پویا به عنوان همتای بینهایت کوچک معادله برنامه ریزی دینامیکی هندسی مربوطه ایفا می کند. توسعه‌های مختلف این نظریه با کاربردهای مالی و ارتباطات مرتبط با جریان‌های هندسی تحریک شده‌اند. یعنی توسعه مرتبه دوم با انگیزه مدل‌سازی عدم نقدینگی و نسخه زیان کنترل‌شده به دنبال مشکل پوشش چندکی معرفی شد. بخش سوم به بررسی اجمالی معادلات دیفرانسیل تصادفی معکوس، و بسط آنها به حالت درجه دوم اختصاص دارد.​

​This book collects some recent developments in stochastic control theory with applications to financial mathematics. We first address standard stochastic control problems from the viewpoint of the recently developed weak dynamic programming principle. A special emphasis is put on the regularity issues and, in particular, on the behavior of the value function near the boundary. We then provide a quick review of the main tools from viscosity solutions which allow to overcome all regularity problems. We next address the class of stochastic target problems which extends in a nontrivial way the standard stochastic control problems. Here the theory of viscosity solutions plays a crucial role in the derivation of the dynamic programming equation as the infinitesimal counterpart of the corresponding geometric dynamic programming equation. The various developments of this theory have been stimulated by applications in finance and by relevant connections with geometric flows. Namely, the second order extension was motivated by illiquidity modeling, and the controlled loss version was introduced following the problem of quantile hedging. The third part specializes to an overview of Backward stochastic differential equations, and their extensions to the quadratic case.​