Open Conformal Systems and Perturbations of Transfer Operators

تمرکز این کتاب بر روی سیستم‌های دینامیکی منسجم باز مربوط به فرار یک نقطه از طریق یک توپ اقلیدسی باز است. هدف نهایی درک رفتار مجانبی نرخ فرار است زیرا شعاع توپ به سمت صفر میل می کند. در مورد سیستم‌های منسجم هذلولی، نویسندگان مختلف به این موضوع پرداخته‌اند. نقشه‌های منسجم در نظر گرفته شده در این کتاب بسیار کلی‌تر هستند، و تجزیه و تحلیل مربوط به آن بیشتر است.

وجود مجانبی نرخ‌های فرار ثابت شده است و آنها در چارچوب الفبای قابل شمارش (متناهی یا نامتناهی) محاسبه می‌شوند. منقبض یکنواخت سیستم‌های مارکوف مبتنی بر گراف منسجم، و به‌ویژه، سیستم‌های تابع تکرار شونده الفبای قابل شمارش منسجم. این نتایج کاربرد مستقیمی برای نقشه‌های بازه‌ای، توابع منطقی و نقشه‌های مرومورفیک دارند.

برای رسیدن به این هدف، نویسندگان، در سطحی کاملاً نمادین، نظریه‌ای از اغتشاشات منفرد عملگرهای Perron--Frobenius (انتقال) مرتبط با زیر شیفت‌های الفبای قابل شمارش از نوع محدود و پتانسیل‌های جمع‌پذیر پیوسته هلدر را توسعه دادند. این منجر به توضیح نسبتاً کاملی از ساختار سیستم‌های دینامیکی باز مربوطه و مجموعه‌های بازمانده مرتبط با آنها می‌شود.

The focus of this book is on open conformal dynamical systems corresponding to the escape of a point through an open Euclidean ball. The ultimate goal is to understand the asymptotic behavior of the escape rate as the radius of the ball tends to zero. In the case of hyperbolic conformal systems this has been addressed by various authors. The conformal maps considered in this book are far more general, and the analysis correspondingly more involved.

The asymptotic existence of escape rates is proved and they are calculated in the context of (finite or infinite) countable alphabets, uniformly contracting conformal graph-directed Markov systems, and in particular, conformal countable alphabet iterated function systems. These results have direct applications to interval maps, rational functions and meromorphic maps.

Towards this goal the authors develop, on a purely symbolic level, a theory of singular perturbations of Perron--Frobenius (transfer) operators associated with countable alphabet subshifts of finite type and Hölder continuous summable potentials. This leads to a fairly full account of the structure of the corresponding open dynamical systems and their associated surviving sets.