On the Problem of Plateau

فوری ترین مسئله تغییر یک بعدی قطعاً مسئله تعیین یک قوس منحنی است که با دو مشخصه محدود شده و دارای کمترین طول ممکن است. مسئله استخراج نقاط تعیین کننده و بررسی سطحی با مرز مشخص و با کمترین مساحت ممکن ممکن است به عنوان فوری ترین مسئله تغییرات دو بعدی در نظر گرفته شود. کار کلاسیک که به مشکل اخیر مربوط می‌شود، به شیوه‌ای زیبا و مشتاقانه در DARBOUX'S Theorie generale des سطوح، جلد. من، و در جلد اول از مقالات گردآوری شده H. A. SCHWARZ. هدف گزارش حاضر ارائه تصویری از پیشرفت به دست آمده در این مشکل در دوره آغاز با پایان نامه LEBESGUE (1902) است. مسئله ما همیشه به عنوان مثال برجسته برای کاربرد تحلیل و هندسه بر یکدیگر در نظر گرفته شده است و کار اخیر در مسئله قطعاً این نظر را تقویت خواهد کرد. به نظر می‌رسد، به‌ویژه، این کار اخیر منبع الهام‌بخشی برای تحلیلگر علاقه‌مند به حساب تغییرات و هندسه‌سنج علاقه‌مند به نظریه مساحت و نظریه نقشه‌های هم‌شکل سطوح عمومی خواهد بود. این جنبه های موضوع به ویژه در این گزارش مورد تاکید قرار خواهد گرفت. این گزارش از شش فصل تشکیل شده است. سه فصل اول ابزارهای مهمی هستند یا به تحقیقاتی مربوط می‌شوند که ایده‌های مهمی برای اثبات قضایای وجودی که در سه فصل اخیر بررسی شده‌اند به دست می‌دهند.

The most immediate one-dimensional variation problem is certainly the problem of determining an arc of curve, bounded by two given and having a smallest possible length. The problem of deter­ points mining and investigating a surface with given boundary and with a smallest possible area might then be considered as the most immediate two-dimensional variation problem. The classical work, concerned with the latter problem, is summed up in a beautiful and enthusiastic manner in DARBOUX'S Theorie generale des surfaces, vol. I, and in the first volume of the collected papers of H. A. SCHWARZ. The purpose of the present report is to give a picture of the progress achieved in this problem during the period beginning with the Thesis of LEBESGUE (1902). Our problem has always been considered as the outstanding example for the application of Analysis and Geometry to each other, and the recent work in the problem will certainly strengthen this opinion. It seems, in particular, that this recent work will be a source of inspiration to the Analyst interested in Calculus of Variations and to the Geometer interested in the theory of the area and in the theory of the conformal maps of general surfaces. These aspects of the subject will be especially emphasized in this report. The report consists of six Chapters. The first three Chapters are important tools or concerned with investigations which yielded either important ideas for the proofs of the existence theorems reviewed in the last three Chapters.