Obtaining Generating Functions

این کتاب مقدمه ای است برای مطالعه روش های بدست آوردن توابع. این یک کار توضیحی در سطح دانشجوی فارغ التحصیل مبتدی است. قسمت اول فصل اول تعاریف و مفاهیم اساسی لازم را به خواننده می دهد. روش بنیادی جمع مستقیم توضیح داده شده و نشان داده شده است. بخش دوم فصل اول به روش های توسعه یافته توسط Rainville می پردازد. این روش‌ها اساساً مبتنی بر دستکاری مبتکرانه سری‌های توان هستند. روش نظری گروهی وایزنر در فصل دوم به تفصیل توضیح داده شده و در فصل سوم بیشتر توضیح داده شده است. هنگامی که این روش قابل اجرا باشد، مجموعه ای از حداقل سه تابع تولید کننده را به دست می دهد. در فصل دوم برای چند جمله‌ای لاگر، شش تابع مولد یافت شد. روش Truesdell در فصل چهارم مورد بررسی قرار گرفته است. برای یک مجموعه معین از توابع {fez، موفقیت این روش به وجود تبدیل های خاصی بستگی دارد. اگر fez، a) را می توان به F(z, a) تبدیل کرد به طوری که a-; F(z، a)=F(z، a+ 1)، یا اگر fez، a) را می توان به G(z، a) تبدیل کرد به طوری که a-; G(z, a)=G(z, a-I)، سپس از هر تابع تبدیل شده می توان یک تابع مولد به دست آورد. روش Truesdell برای به دست آوردن توابع تبدیل شده نیازی به هوشمندی از جانب کاربر ندارد. Truesdell نشان داده است که چگونه می توان از این نتایج ساده برای تولید نتایج پیچیده تر با استفاده از فرآیندهای مشخص، سیستماتیک و کلی استفاده کرد. روش او برای به دست آوردن توابع تنها یکی از این نتایج است.

This book is an introduction to the study of methods of obtaining generating functions. It is an expository work at the level of the beginning graduate student. The first part of Chapter I gives the reader the necessary definitions and basic concepts. The fundamental method of direct summation is explained and illustrated. The second part of Chapter I deals with the methods developed by Rainville. These methods are based principally on inventive manipulation of power series. Weisner's group-theoretic method is explained in detail in Chapter II and is further illustrated in Chapter III. When this method is applicable, it yields a set of at least three generating functions. In Chapter II for the Laguerre polynomials six generating functions were found. Truesdell's method is studied in Chapter IV. For a given set of functions {fez, an the success of this method depends on the existence of certain transformations. If fez, a) can be transformed into F(z, a) such that a a-; F(z, a)=F(z, a+ 1), or if fez, a) can be transformed into G(z, a) such that a a-; G(z, a)=G(z, a-I), then from each transformed function a generating function can be obtained. Truesdell's method for obtaining the transformed functions does not require any ingenuity on the user's part. Truesdell has shown how these simple results may be exploited to generate more complicated results by means of specified, systematic, and general processes. His method of obtaining generating functions is only one of these results.