Numerische Mathematik: Eine anschauliche modulare Einführung

Vorwort für Lernende
Vorwort für Lehrende
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
	1.1 Symbolisches und numerisches Rechnen
	1.2 Gleitpunktzahlen
	1.3 Gleitpunktarithmetik
	1.4 Algorithmen
	1.5 Kondition und Stabilität
	1.6 Landau-Symbole
	1.7 Vektor- und Matrixnormen
2 Iterationsverfahren für nichtlineare Gleichungen
	2.1 Fixpunktiteration
	2.2 Lokale Fixpunktsätze
	2.3 Relaxation
	2.4 Das Newton-Verfahren
	2.5 Verwandte Iterationsverfahren
		2.5.1 Vereinfachtes Newton-Verfahren
		2.5.2 Sekantenverfahren
		2.5.3 Bisektionsverfahren und regula falsi
	2.6 Iterationsverfahren im mathbbRn
	2.7 Zusammenfassung und Ausblick
3 Direkte Verfahren zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme
	3.1 Gauß-Elimination ohne Zeilentausch: LU-Zerlegung
		3.1.1 Eliminationsmatrizen
		3.1.2 LU-Zerlegung
		3.1.3 Existenz der LU-Zerlegung
		3.1.4 Cholesky-Zerlegung
	3.2 Gauß-Elimination mit Zeilentausch: PALU-Zerlegung
	3.3 Fehlerabschätzungen für lineare Gleichungssysteme
	3.4 Praktische Durchführung des Gauß-Algorithmus
		3.4.1 Pivotisierung
		3.4.2 Aufwand des Gauß-Algorithmus
	3.5 Die QR-Zerlegung einer Matrix
		3.5.1 Orthogonale Matrizen
		3.5.2 Gram-Schmidt-Orthogonalisierung
		3.5.3 Reduzierte QR-Zerlegung
		3.5.4 Householder-Matrizen
		3.5.5 QR-Zerlegung durch Householder-Transformationen
	3.6 Über- und unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
		3.6.1 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
		3.6.2 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
	3.7 Zusammenfassung und Ausblick
4 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme
	4.1 Splitting-Verfahren für lineare Gleichungssysteme
		4.1.1 Fixpunktiteration für lineare Gleichungssysteme
		4.1.2 Jacobi-Verfahren und Gauß-Seidel-Verfahren
	4.2 Abstiegsverfahren
		4.2.1 Die Methode des steilsten Abstiegs
		4.2.2 Das cg-Verfahren
		4.2.3 Vorkonditionierung beim cg-Verfahren
	4.3 Projektionsverfahren für lineare Gleichungssysteme
		4.3.1 Krylov-Unterräume
		4.3.2 Krylov-Unterraum-Basen
		4.3.3 Krylov-Unterraum-Verfahren
	4.4 Zusammenfassung und Ausblick
5 Das Eigenwertproblem für Matrizen
	5.1 Ähnlichkeitstransformationen
	5.2 Eigenwertberechnung für symmetrische Tridiagonalmatrizen durch Bisektion und Newton-Verfahren
	5.3 Potenzmethode und inverse Iteration
	5.4 QR-Verfahren
	5.5 Zusammenfassung und Ausblick
6 Approximation und Interpolation reellwertiger Funktionen
	6.1 Approximation transzendenter Funktionen
		6.1.1 Approximation mit Taylor-Polynomen
		6.1.2 Argumentreduktion
	6.2 Polynom-Interpolation
		6.2.1 Interpolationsfehler der Polynom-Interpolation
		6.2.2 Polynom-Interpolation mit Tschebyschow-Stützstellen
		6.2.3 Kondition der Polynom-Interpolation
		6.2.4 Hermite-Interpolation
	6.3 Spline-Interpolation
		6.3.1 Stückweise lineare Interpolation
		6.3.2 Kubische C1-Interpolation
		6.3.3 Kubische Spline-Interpolation (C2-Interpolation)
		6.3.4 Minimierungseigenschaft
		6.3.5 Interpolationsfehler der kubischen Spline-Interpolation
		6.3.6 Kondition der kubischen Spline-Interpolation
		6.3.7 Anwendung: Spline-Interpolation geschlossener ebener Kurven
	6.4 Trigonometrische Interpolation
	6.5 Approximation nach der Methode der kleinsten Quadrate
	6.6 Nichtlineare Ausgleichsrechnung
		6.6.1 Newton-Verfahren
		6.6.2 Gauß-Newton-Verfahren
	6.7 Zusammenfassung und Ausblick
7 Numerische Integration
	7.1 Approximation durch Rechtecke und Trapeze
	7.2 Quadratur durch Polynom-Interpolation
	7.3 Newton-Cotes-Formeln
	7.4 Summierte Newton-Cotes-Formeln
	7.5 Extrapolation mit dem Romberg-Verfahren
	7.6 Gauß-Quadratur
		7.6.1 Orthogonale Polynome
		7.6.2 Stützstellen und Gewichte bei der Gauß-Quadratur
	7.7 Zusammenfassung und Ausblick
8 Gleitpunktrechnung, Kondition, Stabilität
	8.1 Gleitpunktzahlen
	8.2 Gleitpunktarithmetik
		8.2.1 Fehlerfortpflanzung bei den arithmetischen Grundoperationen
	8.3 Die Kondition eines mathematischen Problems
		8.3.1 Fehlerfortpflanzung
	8.4 Stabilität eines numerischen Algorithmus
	8.5 Zusammenfassung und Ausblick
A Anhang A: Metrik, Norm und Skalarprodukt
B Anhang B: Darstellung der Matrizenmultiplikation durch dyadische Produkte
C Anhang C: Der Satz von Gerschgorin
D Anhang D: Auswertung von Polynomen
Literatur
Stichwortverzeichnis