Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen: Mehrschrittverfahren

هدف اصلی این بخش دوم از اعداد مسائل ارزش اولیه معادلات دیفرانسیل معمولی ارائه روشهای موجود امروزی از جمله درمان ریاضی آنهاست. بر این اساس، مانند بخش اول، در این بخش نیز سعی شده است تا نحوه عملکرد روش ها به تنهایی، عمدتاً در بخش های جداگانه، که جدا از بررسی های دقیق تر ریاضی قابل درک است و به ویژه برای خواننده عمدتاً کاربردی گرا. در بخش‌های دیگر کتاب، تا آنجایی که ممکن است، بررسی خواص ریاضی فرآیندها انجام شده است. حتی اگر اجرای چنین برنامه ای تنها با محدودیت در انتخاب مواد امکان پذیر باشد، سعی شده است از روش هایی که در حال حاضر مورد استفاده قرار می گیرند، به ویژه برای سیستم های معادلات دیفرانسیل صلب استفاده شود. استفاده از روش های چند مرحله ای با عرض پله های متغیر که در سال های اخیر آغاز شده است نیز مورد توجه قرار گرفته است. روش‌هایی برای سیستم‌های مرتبه بالاتر با امکان کاهش تأثیر خطاهای گرد کردن نیز ارائه شده‌اند. تجزیه و تحلیل ریاضی به گونه ای طراحی شده است که تا حد امکان، روش های مورد استفاده در عمل نیز گنجانده شده است. بر این اساس، مسائل ثبات به طور گسترده مورد بررسی قرار گرفته است. بررسی‌های همگرایی، حداقل تا حدی، برای اندازه‌های گام متغیر، و برای سیستم‌های مرتبه بالاتر نیز برای ضرایب اختلاف تا مرتبه معادله دیفرانسیل انجام می‌شود. تحولات مجانبی و نتایج جدیدتر در مورد برآورد خطای بهینه نیز گنجانده شده است.

Hauptziel des vorliegenden zweiten Teils der Numerik von An­ fangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen ist es, die heute zur Verfügung stehenden Verfahren einschließ­ lich ihrer mathematischen Behandlung darzustellen. Dementsprechend ist wie im ersten auch in diesem Teil der Versuch unternommen worden, die wirkungsweise der Verfahren allein, in meist gesonderten Abschnitten, zu beschreiben, die losgelöst von den detaillierteren mathematischen Untersuchun­ gen verstanden werden können und insbesondere auch für den vorwiegend anwendungsorientierten Leser gedacht sind. In den anderen Passagen des Buches ist dann soweit wie möglich das Studium der mathematischen Eigenschaften der Verfahren vorge­ nommen worden. Wenn die Durchführung eines solchen Programms auch nur unter Beschränkungen in der Stoffauswahl möglich ist, so ist doch versucht worden, die heute gängigen Verfahren, auch speziell für die sog. steifen Differentialgleichungssysteme, aufzu­ nehmen. Auch die in den letzten Jahren in Gang gekommene Ver­ wendung von Mehrschrittverfahren mit variablen Schrittweiten ist berücksichtigt worden. Ebenso werden Verfahren für Syste­ me höherer Ordnung mit Möglichkeiten der Reduzierung des Rundungsfehlereinflusses dargestellt. Die mathematische Analyse ist so angelegt worden, daß damit möglichst auch die in der Praxis Verwendung findenden Ver­ fahren er faßt werden. Demgemäß sind die Stabilitätsfragen ausführlich behandelt worden. Konvergenzuntersuchungen werde~ wenigstens ansatzweise, für variable Schrittweiten vorgenom­ men, bei Systemen höherer Ordnung auch für die Differenzen­ quotienten bis zur Ordnung der Differentialgleichung. Eingang gefunden haben auch asymptotische Entwicklungen und neuere Ergebnisse über optimale Fehlerabschätzungen.