Numerik-Algorithmen: Verfahren, Beispiele, Anwendungen

Inhaltsverzeichnis......Page 15
Vorwort zur 9. Auflage......Page 7
Informationen zur beigefügten Software (CD-1, CD-2)......Page 9
1.1 Definition von Fehlergrößen......Page 22
1.2.1 Darstellung ganzer Zahlen......Page 24
1.2.2 Darstellung reeller Zahlen......Page 27
1.3 Rechnung mit endlicher Stellenzahl......Page 32
1.4.1 Eingabefehler......Page 38
1.4.2 Verfahrensfehler......Page 39
1.4.3 Fehlerfortpflanzung und die Kondition eines Problems......Page 40
1.4.4 Rechnungsfehler und numerische Stabilität......Page 45
2.1 Aufgabenstellung und Motivation......Page 48
2.2 Definitionen und Sätze über Nullstellen......Page 50
2.3.1 Konstruktionsmethode und Definition......Page 52
2.3.2 Existenz einer Lösung und Eindeutigkeit der Lösung......Page 55
2.3.3 Konvergenz eines Iterationsverfahrens......Page 58
2.3.4 Fehlerabschätzungen und Rechnungsfehler......Page 61
2.3.5 Praktische Durchführung......Page 67
2.4 Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens......Page 70
2.5.1 Das Newtonsche Verfahren für einfache Nullstellen......Page 72
2.5.3 Das Newtonsche Verfahren für mehrfache Nullstellen – Das modifizierte Newtonsche Verfahren......Page 78
2.6.1 Das Sekantenverfahren für einfache Nullstellen......Page 84
2.7 Einschlussverfahren......Page 87
2.7.1 Das Prinzip der Einschlussverfahren......Page 88
2.7.2 Das Bisektionsverfahren......Page 90
2.7.3 Die Regula falsi......Page 92
2.7.4 Das Pegasus-Verfahren......Page 95
2.7.5 Das Verfahren von Anderson-Björck......Page 98
2.7.6 Die Verfahren von King und Anderson-Björck-King – Das Illinois-Verfahren......Page 101
2.7.7 Ein kombiniertes Einschlussverfahren......Page 102
2.7.8 Das Zeroin-Verfahren......Page 104
2.8 Anwendungsbeispiele......Page 106
2.9 Effizienz der Verfahren und Entscheidungshilfen......Page 110
3.1 Vorbemerkungen......Page 112
3.2 Das Horner-Schema......Page 113
3.2.1 Das einfache Horner-Schema für reelle Argumentwerte......Page 114
3.2.2 Das einfache Horner-Schema für komplexe Argumentwerte......Page 116
3.2.3 Das vollständige Horner-Schema für reelle Argumentwerte......Page 118
3.2.4 Anwendungen......Page 121
3.3.1 Vorbemerkungen und Überblick......Page 122
3.3.2 Das Verfahren von Muller......Page 123
3.3.3 Das Verfahren von Bauhuber......Page 130
3.3.4 Das Verfahren von Jenkins und Traub......Page 132
3.4 Anwendungsbeispiel......Page 133
3.5 Entscheidungshilfen......Page 134
4.1 Aufgabenstellung und Motivation......Page 135
4.2 Definitionen und Sätze......Page 140
4.3 Lösbarkeitsbedingungen für ein lineares Gleichungssystem......Page 152
4.4 Prinzip der direkten Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme......Page 153
4.5.1 Gauß-Algorithmus mit Spaltenpivotsuche als Rechenschema......Page 156
4.5.2 Spaltenpivotsuche......Page 161
4.5.3 Gauß-Algorithmus als Dreieckszerlegung......Page 165
4.5.4 Gauß-Algorithmus für Systeme mit mehreren rechten Seiten......Page 169
4.6 Matrizeninversion mit dem Gauß-Algorithmus......Page 171
4.7 Verfahren für Systeme mit symmetrischen Matrizen......Page 173
4.7.1 Systeme mit symmetrischer, streng regulärer Matrix......Page 174
4.7.2 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix – Cholesky-Verfahren......Page 175
4.7.3 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix – Verfahren der konjugierten Gradienten (CG-Verfahren)......Page 180
4.8 Das Gauß-Jordan-Verfahren......Page 184
4.9.1 Systeme mit tridiagonaler Matrix......Page 185
4.9.2 Systeme mit symmetrischer, tridiagonaler, positiv definiter Matrix......Page 189
4.10.1 Systeme mit zyklisch tridiagonaler Matrix......Page 192
4.10.2 Systeme mit symmetrischer, zyklisch tridiagonaler Matrix......Page 195
4.11.1 Systeme mit fünfdiagonaler Matrix......Page 197
4.11.2 Systeme mit symmetrischer, fünfdiagonaler, positiv definiter Matrix......Page 200
4.12 Gleichungssysteme mit Bandmatrix......Page 203
4.13 Householdertransformation......Page 214
4.14.1 Fehler und Kondition......Page 219
4.14.2 Konditionsschätzung......Page 223
4.14.4 Nachiteration......Page 228
4.15.1 Vorbemerkungen......Page 230
4.15.2 Gauß-Algorithmus für Blocksysteme......Page 231
4.15.3 Gauß-Algorithmus für tridiagonale Blocksysteme......Page 233
4.15.4 Weitere Block-Verfahren......Page 234
4.16 Algorithmus von Cuthill-McKee......Page 235
4.17 Entscheidungshilfen......Page 239
5.2 Vektor- und Matrizennormen......Page 242
5.3 Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten......Page 244
5.4 Das Gauß-Seidelsche Iterationsverfahren......Page 253
5.6 Relaxation beim Einzelschrittverfahren – SOR-Verfahren......Page 255
5.6.1 Schätzung des Relaxationskoeffizienten – Adaptives SOR-Verfahren......Page 256
6.1 Aufgabenstellung und Motivation......Page 259
6.2 Allgemeines Iterationsverfahren für Systeme......Page 262
6.3.1 Newtonsche Verfahren für nichtlineare Systeme......Page 268
6.3.2 Sekantenverfahren für nichtlineare Systeme......Page 272
6.3.3 Das Verfahren des stärksten Abstiegs (Gradientenverfahren) für nichtlineare Systeme......Page 273
6.3.4 Das Verfahren von Brown für Systeme......Page 275
6.4 Entscheidungshilfen......Page 276
7.1 Definitionen und Aufgabenstellungen......Page 277
7.2 Diagonalähnliche Matrizen......Page 278
7.3.1 Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes und des zugehörigen Eigenvektors......Page 280
7.3.3 Bestimmung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren......Page 287
7.4 Konvergenzverbesserung......Page 289
7.5.1 Bestimmung der Eigenwerte......Page 290
7.5.2 Bestimmung der Eigenvektoren......Page 292
7.6 QD-Algorithmus......Page 293
7.7.1 Transformation einer Matrix auf obere Hessenbergform......Page 294
7.7.2 LR-Verfahren......Page 298
7.7.3 QR-Verfahren......Page 300
7.8 Verfahren von Martin, Parlett, Peters, Reinsch und Wilkinson......Page 301
7.9 Entscheidungshilfen......Page 302
7.10 Anwendungsbeispiel......Page 303
8.1 Aufgabenstellung und Motivation......Page 308
8.2.1 Approximationsaufgabe und beste Approximation......Page 311
8.2.2 Kontinuierliche lineare Approximation im quadratischen Mittel......Page 313
8.2.3 Diskrete lineare Approximation im quadratischen Mittel......Page 319
8.2.4 Approximation von Polynomen durch Tschebyscheff-Polynome......Page 333
8.2.5 Approximation periodischer Funktionen......Page 340
8.2.6 Fehlerabschätzungen für lineare Approximationen......Page 353
8.3.1 Transformationsmethode beim nichtlinearen Ausgleich......Page 359
8.4 Entscheidungshilfen......Page 365
9.1 Aufgabenstellung......Page 367
9.2.1 Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen......Page 369
9.2.2 Lagrangesche Formel für äquidistante Stützstellen......Page 371
9.3 Aitken-Interpolationsschema für beliebige Stützstellen......Page 372
9.4 Inverse Interpolation nach Aitken......Page 376
9.5.1 Newtonsche Formel für beliebige Stützstellen......Page 378
9.5.2 Newtonsche Formel für äquidistante Stützstellen......Page 381
9.6 Abschätzung und Schätzung des Interpolationsfehlers......Page 384
9.7 Zweidimensionale Interpolation......Page 389
9.7.1 Zweidimensionale Interpolationsformel von Lagrange......Page 390
9.7.2 Shepard-Interpolation......Page 392
9.8 Entscheidungshilfen......Page 401
10.1 Polynom-Splines dritten Grades......Page 403
10.1.1 Aufgabenstellung......Page 406
10.1.2 Woher kommen Splines? Mathematische Analyse......Page 411
10.1.3 Anwendungsbeispiele......Page 413
10.1.4 Definition verschiedener Arten nichtparametrischer kubischer Splinefunktionen......Page 418
10.1.5 Berechnung der nichtparametrischen kubischen Splines......Page 424
10.1.6 Berechnung der parametrischen kubischen Splines......Page 441
10.1.7 Kombinierte interpolierende Polynom-Splines......Page 449
10.1.8 Näherungsweise Ermittlung von Randableitungen durch Interpolation......Page 454
10.1.9 Konvergenz und Fehlerabschätzungen interpolierender kubischer Splines......Page 456
10.2.1 Definition der nichtparametrischen und parametrischen Hermite-Splines......Page 458
10.2.2 Berechnung der nichtparametrischen Hermite-Splines......Page 459
10.2.3 Berechnung der parametrischen Hermite-Splines......Page 463
10.3.1 Aufgabenstellung und Motivation......Page 468
10.3.2 Konstruktion der nichtparametrischen Ausgleichssplines......Page 472
10.3.3 Berechnung der parametrischen kubischen Ausgleichssplines......Page 480
10.4 Entscheidungshilfen für die Auswahl einer geeigneten Splinemethode......Page 481
11.1 Akima-Subsplines......Page 486
11.2 Renner-Subsplines......Page 493
11.3 Abrundung von Ecken bei Akima- und Renner-Kurven......Page 503
11.4 Berechnung der Länge einer Kurve......Page 507
11.5 Flächeninhalt einer geschlossenen ebenen Kurve......Page 510
11.6 Entscheidungshilfen......Page 513
12.1 Interpolierende zweidimensionale Polynom-Splines......Page 514
12.2 Zweidimensionale interpolierende Oberflächensplines......Page 528
12.3 Bézier Splines......Page 531
12.3.1 Bézier-Spline-Kurven......Page 532
12.3.2 Bézier-Spline-Flächen......Page 536
12.3.3 Modifizierte (interpolierende) kubische Bézier-Splines......Page 544
12.4.1 B-Spline-Kurven......Page 545
12.4.2 B-Spline-Flächen......Page 551
12.5 Anwendungsbeispiel......Page 556
12.6 Entscheidungshilfen......Page 561
13.1 Aufgabenstellung und Motivation......Page 563
13.2 Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynoms......Page 564
13.3 Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer Polynom-Splines......Page 567
13.4 Differentiation mit dem Romberg-Verfahren......Page 569
13.5 Entscheidungshilfen......Page 573
14.1 Vorbemerkungen......Page 575
14.2 Konstruktion von Interpolationsquadraturformeln......Page 578
14.3 Newton-Cotes-Formeln......Page 581
14.3.1 Die Sehnentrapezformel......Page 583
14.3.2 Die Simpsonsche Formel......Page 588
14.3.3 Die 3/8-Formel......Page 593
14.3.4 Weitere Newton-Cotes-Formeln......Page 596
14.4 Quadraturformeln von Maclaurin......Page 600
14.4.1 Die Tangententrapezformel......Page 601
14.4.2 Weitere Maclaurin-Formeln......Page 603
14.5 Die Euler-Maclaurin-Formeln......Page 605
14.6 Tschebyscheffsche Quadraturformeln......Page 607
14.7 Quadraturformeln von Gauß......Page 609
14.8 Verallgemeinerte Gauß-Quadraturformeln......Page 613
14.9 Quadraturformeln von Clenshaw-Curtis......Page 616
14.10 Das Verfahren von Romberg......Page 617
14.11 Fehlerschätzung und Rechnungsfehler......Page 622
14.12 Adaptive Quadraturverfahren......Page 624
14.13 Konvergenz der Quadraturformeln......Page 626
14.14 Anwendungsbeispiel......Page 627
14.15 Entscheidungshilfen......Page 628
15.1 Problemstellung......Page 630
15.2 Konstruktion von Interpolationskubaturformeln......Page 632
15.3 Newton-Cotes-Kubaturformeln für Rechteckbereiche......Page 635
15.4 Das Romberg-Kubaturverfahren für Rechteckbereiche......Page 643
15.5 Gauß-Kubaturformeln für Rechteckbereiche......Page 646
15.7 Vergleich der Verfahren anhand von Beispielen......Page 649
15.8.1 Kubaturformeln für Dreieckbereiche mit achsenparallelen Katheten......Page 654
15.8.2 Kubaturformeln für Dreieckbereiche allgemeiner Lage......Page 661
15.9 Entscheidungshilfen......Page 668
A......Page 681
E......Page 682
G......Page 683
I......Page 684
M......Page 685
Q......Page 686
S......Page 687
U......Page 688
Z......Page 689