Numerical Solution of Stochastic Differential Equations with Jumps in Finance

در مدل‌سازی مالی و اکچوئری و سایر حوزه‌های کاربردی، معادلات دیفرانسیل تصادفی با جهش برای توصیف پویایی متغیرهای حالت مختلف استفاده شده‌اند. حل عددی چنین معادلاتی پیچیده‌تر از حل عددی آن‌هایی است که فقط توسط فرآیندهای وینر هدایت می‌شوند، که در Kloeden & Platen: حل عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی (1992) توضیح داده شده است. مونوگراف حاضر بر اساس کار فوق الذکر استوار است و مقدمه ای بر معادلات دیفرانسیل تصادفی با پرش، هم در تئوری و هم در کاربرد، با تأکید بر روش های عددی مورد نیاز برای حل چنین معادلاتی ارائه می دهد. این نتایج جدید بسیاری را در مورد روش‌های مرتبه بالاتر برای شبیه‌سازی سناریو و مونت کارلو، از جمله روش‌های ضمنی، تصحیح‌کننده پیش‌بینی، برون‌یابی، زنجیره مارکوف و روش‌های کاهش واریانس ارائه می‌کند و بر اهمیت پایداری عددی آنها تاکید می‌کند. علاوه بر این، شامل فصل هایی در مورد شبیه سازی دقیق، تخمین و فیلتر است. علاوه بر اینکه به عنوان یک متن اساسی در مورد روش‌های کمی عمل می‌کند، دسترسی آماده به تعداد زیادی از مشکلات پژوهشی بالقوه در حوزه‌ای را ارائه می‌دهد که به طور گسترده قابل اجرا است و به سرعت در حال گسترش است. مالی به عنوان حوزه کاربردی انتخاب شده است زیرا بسیاری از تحقیقات اخیر در مورد روش‌های عددی تصادفی ناشی از چالش‌هایی در امور مالی کمی بوده است. علاوه بر این، این جلد خوانندگان را با رویکرد معیار مدرن آشنا می‌کند که چارچوبی کلی برای مدل‌سازی در امور مالی و بیمه فراتر از رویکرد استاندارد ریسک خنثی فراهم می‌کند. این به پیشینه کارشناسی در روش های ریاضی یا کمی نیاز دارد، برای خوانندگان گسترده ای از جمله کسانی که فقط به دنبال دستور العمل های عددی هستند در دسترس است، و شامل تمرین هایی است که به خواننده کمک می کند تا درک عمیق تری از ریاضیات اساسی ایجاد کند.

In financial and actuarial modeling and other areas of application, stochastic differential equations with jumps have been employed to describe the dynamics of various state variables. The numerical solution of such equations is more complex than that of those only driven by Wiener processes, described in Kloeden & Platen: Numerical Solution of Stochastic Differential Equations (1992). The present monograph builds on the above-mentioned work and provides an introduction to stochastic differential equations with jumps, in both theory and application, emphasizing the numerical methods needed to solve such equations. It presents many new results on higher-order methods for scenario and Monte Carlo simulation, including implicit, predictor corrector, extrapolation, Markov chain and variance reduction methods, stressing the importance of their numerical stability. Furthermore, it includes chapters on exact simulation, estimation and filtering. Besides serving as a basic text on quantitative methods, it offers ready access to a large number of potential research problems in an area that is widely applicable and rapidly expanding. Finance is chosen as the area of application because much of the recent research on stochastic numerical methods has been driven by challenges in quantitative finance. Moreover, the volume introduces readers to the modern benchmark approach that provides a general framework for modeling in finance and insurance beyond the standard risk-neutral approach. It requires undergraduate background in mathematical or quantitative methods, is accessible to a broad readership, including those who are only seeking numerical recipes, and includes exercises that help the reader develop a deeper understanding of the underlying mathematics.