Numerical Methods for Nonlinear Partial Differential Equations

توصیف بسیاری از پدیده‌های جالب در علم و مهندسی منجر به مشکلات کمینه‌سازی یا تکامل بی‌بعدی می‌شود که معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی را تعریف می‌کنند. در حالی که توسعه و تجزیه و تحلیل روش های عددی برای معادلات دیفرانسیل جزئی خطی تقریباً کامل شده است، تنها نتایج کمی در مورد معادلات غیر خطی در دسترس است. این مونوگراف روش‌های عددی را برای مشکلات مدل غیرخطی که در توصیف ریاضی انتقال فاز، مشکلات خمشی بزرگ، پردازش تصویر و رفتار مواد غیرکشسان ایجاد می‌شوند، ابداع می‌کند. برای هر یک از این مسائل، مدل ریاضی زیربنایی مورد بحث قرار می‌گیرد، ویژگی‌های تحلیلی ضروری توضیح داده می‌شود، و روش عددی پیشنهادی به طور دقیق تحلیل می‌شود. عملی بودن الگوریتم ها با استفاده از پیاده سازی های کوتاه نشان داده شده است.

The description of many interesting phenomena in science and engineering leads to infinite-dimensional minimization or evolution problems that define nonlinear partial differential equations. While the development and analysis of numerical methods for linear partial differential equations is nearly complete, only few results are available in the case of nonlinear equations. This monograph devises numerical methods for nonlinear model problems arising in the mathematical description of phase transitions, large bending problems, image processing, and inelastic material behavior. For each of these problems the underlying mathematical model is discussed, the essential analytical properties are explained, and the proposed numerical method is rigorously analyzed. The practicality of the algorithms is illustrated by means of short implementations.