Notes on Functional Analysis

Cover......Page 1
Title: Notes onFunctional Analysis......Page 2
ISBN 978-81-85931-89.0......Page 3
Preface......Page 4
A word about notation......Page 6
Contents......Page 8
Lecture 1: Banach Spaces......Page 10
Examples Aplenty......Page 11
Sequence Spaces......Page 14
Lebesgue Spaces......Page 15
Separable Spaces......Page 17
More examples......Page 18
Caveat......Page 19
Zorn's Lemma......Page 20
Topological (Schauder) Basis......Page 22
Equivalence of Norms......Page 24
Local Compactness......Page 26
Quotient Spaces......Page 28
Bounded Linear Operators......Page 30
The H.B.T. for real vector spaces......Page 37
The H.B.T. for complex vector spaces......Page 39
The H.B.T. for normed linear spaces......Page 40
Corollaries of the H.B.T.......Page 41
Banach Limits......Page 43
The U.B.P.......Page 45
Typical Applications of the U.B.P.......Page 47
Divergence of Fourier Series......Page 48
Exercises.......Page 49
Lecture 6: The Open Mapping Theorem......Page 51
The Closed Graph Theorem......Page 53
Some Applications of the Basic Principles......Page 55
The dual of Ctm......Page 58
The dual of Lp......Page 59
The dual of C[0,1]......Page 61
Positive Linear F unctionals......Page 65
Exercises......Page 66
The Montei - Helly Selection Principle......Page 67
Positive definite sequences......Page 68
The Herglotz Theorem......Page 69
Holomorphic maps of the disk into a half-plane......Page 70
The weak topology......Page 75
The Second Dual and Reflexivity......Page 82
The weak* topology......Page 83
Annihilators......Page 85
Basic notions......Page 90
The Cauchy-Schwarz inequality......Page 92
Exercises......Page 93
Subspaces, direct sums and projections......Page 94
A problem with Banach spaces......Page 97
Self-duality......Page 98
Supplementary Exercises......Page 100
Lecture 12: Orthonormal Bases......Page 102
Separable Hilbert spaces......Page 104
Topologies on operators......Page 112
Operator Multiplication......Page 115
Inverses......Page 117
Lecture 14: Adjoint Operators......Page 120
Adjoints of Hiibert Space operators......Page 122
Continuity Properties......Page 124
Self-adjoint operators......Page 128
Positive Operators......Page 130
Normal Operators......Page 131
Unitary operators......Page 132
Projections and Subspaces......Page 134
Exercises......Page 136
Banach space-valued maps......Page 138
Resolvents......Page 141
The Spectrum......Page 143
Spectral Radius......Page 144
Lecture 17: Subdivision of the Spectrum......Page 148
Exercise. (Spectrum of a product)......Page 154
Lecture 18: Spectra of Normal Operators......Page 155
Diagonal Operators......Page 156
Multiplication operators......Page 157
Two sided shifts......Page 159
Discontinuity of the spectrum......Page 160
Continuity of the spectrum in special cases......Page 162
Lecture 19: Square Roots and the Polar Decomposition......Page 164
Existence of square roots......Page 166
The Polar Decomposition......Page 167
Lecture 20: Compact Operators......Page 172
Lecture 21: The Spectrum of a Compact Operator......Page 179
Lecture 22: Compact Operators and Invariant Subspaces......Page 187
Invariant subspaces......Page 189
Compact Operators in Hilbert spaces......Page 192
The Invariant Subspace Problem......Page 195
Ext remal Properties of Singular Values......Page 196
Trace Class Operators......Page 198
Hilbert-Schmidt Operators......Page 204
Schatten Classes......Page 205
Lecture 24: The Spectral Theorem -I......Page 207
Examples......Page 212
Support of the spectral measures......Page 215
The uniqueness question......Page 216
Projection-valued measures......Page 218
Integration......Page 221
Support of the pvm......Page 227
Lecture 26: The Spectral Theorem -III......Page 228
Operators commuting with A......Page 229
The functional calculus......Page 230
The essential and the discrete spectrum......Page 231
Spectral Theorem for normal operators......Page 233
Spectral Theorem for unitary operators......Page 234
Index......Page 239
Texts and Readings in Mathematics......Page 248