Notas de Matemática (49): Spectral Theory and Complex Analysis

دسته بندی: تحلیل و بررسی
ویرایش:  
نویسندگان: Leopoldo Nachbin and Jean Pierre Ferrier (Eds.)  
سری: North-Holland Mathematics Studies 4 
ISBN (شابک) : 9780444104298, 0444104291 
ناشر: North Holland 
سال نشر: 1973 
تعداد صفحات: 106 
زبان: English 
فرمت فایل : DJVU (درصورت درخواست کاربر به PDF، EPUB یا AZW3 تبدیل می شود) 
حجم فایل: 1 مگابایت 

قیمت کتاب (تومان) : 35,000

تئوری چندین متغیر مختلط با نظریه یک متغیر بسیار متفاوت است و بسیاری از تکنیک‌های مورد استفاده برای مطالعه توابع پیچیده چندین متغیر شامل ابزارهای نسبتاً پیچیده‌ای از تحلیل تابعی و حتی توپولوژی جبری است. یکی از نتایج اصلی در این زمینه، قضیه Oka-Weil است، که به فرد اجازه می‌دهد تا یک تابع هولومورفیک را بر روی یک کمپکت، محدب چند جمله‌ای در فضای n مختلط به‌طور یکنواخت توسط چندجمله‌ای تقریب بزند. این نتیجه نمونه ای از «حساب تابعی هولومورفیک» در نظریه جبرهای باناخ است.

شرط تحدب چند جمله ای در قضیه Oka-Weil نقطه شروع برای نویسنده است، زیرا حساب تابعی هولومورف زمانی کار می کند که فقط تحدب برای مجموعه فشرده فرض شود. او می‌خواهد با در نظر گرفتن تقریبی‌هایی که شرایط رشد خاصی را برآورده می‌کنند، از وابستگی به جبرهای Banach دور شود. استراتژی مورد استفاده او شامل نظریه طیفی جبرهای ب (والبروک) است که موضوع این کتاب است.

فصل 1 جبر "توابع معتدل" را با توجه به "تابع وزن" به همراه جبر فرعی توابع هولومورفیک این جبر در نظر می گیرد. نمونه هایی از این جبر شامل چند جمله ای ها، کل توابع از نوع نمایی و توابع هولومورف با رشد چند جمله ای در یک مجموعه باز است. تابع وزن d در فضای n مختلط یک تابع غیر منفی است که در بی نهایت O(1/|z|) است و شرط لیپشیتز را برآورده می کند. نویسنده شرایطی را برای توابع غیرمنفی می دهد که معادل توابع وزن باشند. او همچنین جبرهای توابع هولومورفیک را مشخص می کند که حدود استقرایی جبر توابع معتدل هستند. برای مجموعه‌ای از توابع وزن جهت‌دار، نویسنده نمونه‌هایی از این جبرها را در این مجموعه هدایت‌شده ارائه می‌دهد.

در فصل 2، نویسنده نشان می‌دهد که چگونه جبرهای تعدیل شده و هولومورفیک را با پوششی از فضاهای برداری «شبههرم‌شده» بپوشانیم. چنین پوششی توپولوژی نمی دهد، اما تئوری تقریب مورد نظر را اجازه می دهد. جبرها سپس به نمونه‌هایی از «فضاهای برداری چندهنجاری» تبدیل می‌شوند که فضاهای برداری پیچیده‌ای هستند که با پوششی از فضاهای شبه‌هنجار مجهز شده‌اند. اگر هر یک از اعضای پوشش یک فضای Banach باشد، فضای چندهنجاری کامل نامیده می شود. جبرهای معتدل و هولومورف کامل نشان داده شده اند. سپس فضاهای برداری چندهنجاری خاصی به نام جبرهای چندهنجاری تعریف می شوند که به گونه ای هستند که عملیات ضرب یک نگاشت خطی محدود است. در چنین ساختارهایی حاصل ضرب دو مجموعه محدود محدود می شود و به آن "محدوده جبر" می گویند. «b-جبرا» جبری با مرز جبر کامل است. نویسنده نشان می‌دهد که تا چه حد می‌توان وضعیت را در جبرهای جابجایی باناخ تقلید کرد، یعنی به یاد داشته باشد که یک ایده‌آل نمی‌تواند عنصر هویت را در برگیرد، اگر واحد حد دنباله‌ای از عناصر در ایده‌آل باشد، ایده‌آل کل جبر است.

نظریه طیفی جبرهای b در فصل 3 مورد بررسی قرار گرفته است، و نویسنده ابتدا وضعیت جبرهای Banach را بررسی می کند. طیف عناصر جبر b فشرده نیست و بنابراین مطالعه تابع حلال لزوماً روی مکمل طیف قابل انجام نیست. این به نویسنده انگیزه می دهد تا مجموعه طیفی یک عنصر از جبر b را به عنوان شرطی در مرز بودن حلال بر مکمل عنصر تعریف کند. نویسنده با توجه به اینکه مطالعه کل توابع را نمی توان با استفاده از مجموعه های طیفی انجام داد، «تابع طیفی» را به عنوان پالایش یک مجموعه طیفی تعریف می کند و با استفاده از آن یک حساب تابعی هولومورف می سازد. این شامل اثبات این است که هر تابع طیفی بزرگتر از تابع طیفی است که یک تابع وزنی است.

پس از بررسی تئوری توابع چندگانه، نویسنده نظریه طیفی O(d) را در نظر می گیرد، که در آن d یک تابع وزنی در فصل 4 است. مجموعه G که d در آن غیر صفر است به عنوان یک مجموعه طیفی نشان داده می شود اگر و فقط اگر شبه محدب باشد. نویسنده ابتدا توابع طیفی را در نظر می گیرد. /* 2472 = 91d0ddebffca4175acbc98a3850f51dc

The theory of several complex variables is very different from that of one variable, and many of the techniques used to study complex functions of several variables involve some fairly sophisticated tools from functional analysis and even algebraic topology. One of the main results in this area is the Oka-Weil theorem, which allows one to approximate a function holomorphic on a campact, polynomially convex set in complex n-space uniformly by polynomials. This result is an example of the 'holomorphic functional calculus' in the theory of Banach algebras.

The condition of polynomial convexity in the Oka-Weil theorem is the starting point for the author, for the holomorphic functional calculus works when only convexity is assumed for the compact set. He wants to get away from the dependence on Banach algebras by considering approximators that satisfy certain growth conditions. The strategy he uses consists of the spectral theory of (Waelbroeck) b-algebras, which is the topic of this book.

Chapter 1 considers the algebra of 'tempered functions' with respect to a 'weight function', along with the subalgebra of holomorphic functions of this algebra. Examples of this algebra include polynomials, entire functions of exponential type, and holomorphic functions with polynomial growth on an open set. A weight function d on complex n-space is a non-negative function that is O(1/|z|) at infinity and satisfies a Lipschitz condition. The author gives conditions for non-negative functions to be equivalent to weight functions. He also characterizes the algebras of holomorphic functions which are inductive limits of the algebra of tempered functions. For a directed set of weight functions, the author gives examples of these algebras on this directed set.

In chapter 2, the author shows how to cover the tempered and holomorphic algebras with a covering of 'pseudonormed' vector spaces. Such a covering does not give a topology but does allow the desired approximation theory. The algebras then become examples of 'polynormed vector spaces', which are complex vector spaces equipped with a covering of pseudonormed spaces. If each member of the covering is a Banach space then the polynormed space is called complete. The tempered and holomorphic algebras are shown to be complete. Certain special polynormed vector spaces called polynormed algebras are then defined, which are such that the operation of multiplication is a bounded linear mapping. In such structures the product of two bounded sets is bounded, and this called an 'algebra boundedness'. A 'b-algebra' is an algebra with a complete algebra boundedness. The author shows to what degree one can emulate the situation in commutative Banach algebras, namely, remembering that an ideal cannot contain the identity element, the ideal is the whole algebra if the unit is the limit of a sequence of elements in the ideal.

The spectral theory of b-algebras is considered in chapter 3, with the author first reviewing the situation in Banach algebras. The spectra of elements of a b-algebra is not compact, and so the study of the resolvent function cannot necessarily be done on the complement of the spectrum. This motivates the author to define the spectral set of an element of a b-algebra as a condition on the boundedness of the resolvent over the complement of the element. Noting then that the study of entire functions cannot be done using spectral sets, the author defines a 'spectral function' as a refinement of a spectral set, and using this he constructs a holomorphic functional calculus. This involves proving that every spectral function is larger than some spectral function which is a weight function.

After a review of the theory of plurisubharmonic functions, the author considers the spectral theory of O(d), where d is a weight function in chapter 4. The set G on which d is nonzero is shown to be a spectral set if and only if it is pseudoconvex. The author first considers spectral functions START TRANSACTION WITH CONSISTENT SNAPSHOT; /* 2472 = 91d0ddebffca4175acbc98a3850f51dc

Content: 
Edited by
Page iii

Copyright page
Page iv

Introduction
Pages v-vii

List of Symbols
Pages xi-xii

Chapter I Algebras of Holomorphic Functions With Restricted Growth
Pages 1-11

Chapter II Boundedness and Polynormed Vector Spaces
Pages 12-21

Chapter III Spectral Theory of b-Algebras
Pages 22-40

Chapter IV Spectral Theorems and Holomorphic Convexity
Pages 41-54

Chapter V Decomposition Property for Algebras of Holomorphic Functions
Pages 55-67

Chapter VI Approximation Theorems
Pages 68-76

Chapter VII Filtrations
Pages 77-90

Bibliography Review Article
Pages 91-93