Normal forms, Melnikov functions and bifurcations of limit cycles

تئوری سیستم پویا در پنجاه سال گذشته به سرعت توسعه یافته است. این موضوعی است که نظریه چرخه های حدی تأثیر قابل توجهی برای پیشرفت های نظری و راه حل های عملی برای مسائل دارد. انشعاب Hopf از یک مرکز یا یک کانون جزء جدایی ناپذیر نظریه انشعاب چرخه های حدی است که نظریه فرم نرمال ابزار مرکزی آن است. اگرچه انشعاب Hopf برای بیش از نیم قرن مورد مطالعه قرار گرفته است، و نظریه فرم عادی بیش از 100 سال است، محاسبات کارآمد در این زمینه هنوز یک چالش با مفاهیمی برای مشکل 16 هیلبرت است.

این کتاب بیشترین موارد را معرفی می کند. تحولات اخیر در این زمینه و پیشرفت های عمده ای در نظریه بنیادی چرخه های حدی فراهم می کند. به دو بخش تقسیم می‌شود، بخش اول بر مطالعه چرخه‌های حدی که از تکینگی هاپف منشعب می‌شوند با استفاده از تئوری فرم عادی با کاربرد بعدی در مسئله شانزدهم هیلبرت تمرکز می‌کند، در حالی که بخش دوم سیستم‌های نزدیک همیلتونی را با استفاده از تابع ملنیکوف به عنوان ابزار اصلی ریاضی در نظر می‌گیرد.

موضوعات کلاسیک با نتایج جدید به صورت واضح و مختصر ارائه شده و با استفاده آزادانه از تصاویر در سراسر آن همراه است. با گنجاندن تعداد زیادی مثال و الگوریتم‌های ساختاریافته که با جزئیات مورد بررسی قرار می‌گیرند، تعادل خوبی بین موضوعات نظری و کاربردی نشان داده می‌شود. این کتاب با گنجاندن برنامه‌های Maple کامل در متن، خواننده را قادر می‌سازد تا اکثر فرمول‌های ارائه‌شده را بازسازی کند و استفاده از مدل‌های عینی را برای مطالعه تسهیل کند.

از طریق اتخاذ یک رویکرد ابتدایی و عملی، این کار را انجام می‌دهد. این کتاب برای دانشجویان فارغ التحصیل ریاضی که مایل به مطالعه تئوری چرخه های حدی هستند و همچنین دانشمندان در تعدادی از رشته ها با علاقه به کاربردهای رفتار دوره ای مفید خواهد بود.

Dynamical system theory has developed rapidly over the past fifty years. It is a subject upon which the theory of limit cycles has a significant impact for both theoretical advances and practical solutions to problems. Hopf bifurcation from a center or a focus is integral to the theory of bifurcation of limit cycles, for which normal form theory is a central tool. Although Hopf bifurcation has been studied for more than half a century, and normal form theory for over 100 years, efficient computation in this area is still a challenge with implications for Hilbert’s 16th problem.

This book introduces the most recent developments in this field and provides major advances in fundamental theory of limit cycles. Split into two parts, the first focuses on the study of limit cycles bifurcating from Hopf singularity using normal form theory with later application to Hilbert’s 16th problem, while the second considers near Hamiltonian systems using Melnikov function as the main mathematical tool.

Classic topics with new results are presented in a clear and concise manner and are accompanied by the liberal use of illustrations throughout. Containing a wealth of examples and structured algorithms that are treated in detail, a good balance between theoretical and applied topics is demonstrated. By including complete Maple programs within the text, this book also enables the reader to reconstruct the majority of formulas provided, facilitating the use of concrete models for study.

Through the adoption of an elementary and practical approach, this book will be of use to graduate mathematics students wishing to study the theory of limit cycles as well as scientists, across a number of disciplines, with an interest in the applications of periodic behavior.