Nonlinear Partial Differential Equations in Geometry and Physics: The 1995 Barrett Lectures

این جلد مجموعه‌ای از سخنرانی‌ها را ارائه می‌کند که توسط گروه ریاضیات ریاضی دانشگاه تنسی، ناکسویل، 22 تا 24 مارس 1995، تحت عنوان "معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی در هندسه و فیزیک" برگزار شده است. در حالی که ارتباط معادلات دیفرانسیل جزئی با مسائل در هندسه دیفرانسیل از روزهای اولیه موضوع اخیر شناخته شده است، این ایده که معادلات دیفرانسیل منشا دیفرانسیل هندسی می توانند در فرمول بندی نظریه های فیزیکی مفید باشند، ایده بسیار جدیدتری است. . شاید اولین ظهور سیستم های معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی که دارای اهمیت ژئو متریک و فیزیکی عمیق هستند، معادلات نسبیت عام اینشتین (1915) باشد. چندین جنبه اساسی مسئله ارزش اولیه برای معادلات انیشتین، مانند وجود، منظم بودن و پایداری راه‌حل‌ها، امروزه حوزه‌های تحقیقاتی اصلی باقی مانده‌اند. هشتاد سال پس از کار انیشتین. پیشرفت حتی جدیدتر این است که متوجه شویم ساختارهایی که در اصل زمینه مدل‌ها در فیزیک نظری هستند ممکن است در کاربردهای هندسی یا توپولوژیکی مهم معرفی شده باشند. شاید بتوان پیدایش آن را به سال 1954 با معرفی نسخه غیرآبلی معادلات ماکسول به عنوان مدلی در فیزیک ذرات بنیادی توسط فیزیکدانان C.N. یانگ و آر. میلز. ساختار هندسی غنی معادلات یانگ میلز از طریق کار M.F مورد توجه ریاضیدانان قرار گرفت. عطیه، :\"جی. هیچین، آی.

This volume presents the proceedings of a series of lectures hosted by the Math­ ematics Department of The University of Tennessee, Knoxville, March 22-24, 1995, under the title "Nonlinear Partial Differential Equations in Geometry and Physics" . While the relevance of partial differential equations to problems in differen­ tial geometry has been recognized since the early days of the latter subject, the idea that differential equations of differential-geometric origin can be useful in the formulation of physical theories is a much more recent one. Perhaps the earliest emergence of systems of nonlinear partial differential equations having deep geo­ metric and physical importance were the Einstein equations of general relativity (1915). Several basic aspects of the initial value problem for the Einstein equa­ tions, such as existence, regularity and stability of solutions remain prime research areas today. eighty years after Einstein's work. An even more recent development is the realization that structures originally the context of models in theoretical physics may turn out to have introduced in important geometric or topological applications. Perhaps its emergence can be traced back to 1954, with the introduction of a non-abelian version of Maxwell's equations as a model in elementary-particle physics, by the physicists C.N. Yang and R. Mills. The rich geometric structure ofthe Yang-Mills equations was brought to the attention of mathematicians through work of M.F. Atiyah, :"J. Hitchin, I.