Nonlinear Oscillations of Hamiltonian PDEs

بسیاری از معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) که در فیزیک بوجود می آیند را می توان به عنوان سیستم های همیلتونی بی بعدی مشاهده کرد. این مونوگراف نتایج اخیر وجود نوسانات غیرخطی PDE های همیلتونی، به ویژه حل های تناوبی برای معادلات موج غیرخطی کاملا تشدید کننده را ارائه می دهد.

پس از معرفی خواننده با نظریه سیستم های دینامیکی کلاسیک بعد محدود، از جمله Weinstein-Moser و قضایای مرکز تشدید فادل-رابینوویتز، نویسنده نظریه مشابهی را برای معادلات موج غیرخطی کاملا تشدید ایجاد می کند. در این تئوری، هم مشکلات مقسوم‌کننده‌های کوچک و هم پدیده‌های انشعاب نامتناهی رخ می‌دهند که نیاز به استفاده از نظریه نش-موزر و همچنین روش‌های تغییر حداقلی دارند. این تکنیک ها به شیوه ای مستقل همراه با سایر مفاهیم اساسی PDE هامیلتونی و نظریه اعداد ارائه شده اند.

این متن به عنوان مقدمه ای برای تحقیق در این زمینه جذاب و به سرعت در حال رشد است. دانشجویان فارغ التحصیل و محققان علاقه مند به تکنیک های تغییر غیرخطی و همچنین مسائل مقسوم علیه های کوچک اعمال شده در PDE های همیلتونی در این کتاب الهام می گیرند.

Many partial differential equations (PDEs) that arise in physics can be viewed as infinite-dimensional Hamiltonian systems. This monograph presents recent existence results of nonlinear oscillations of Hamiltonian PDEs, particularly of periodic solutions for completely resonant nonlinear wave equations.

After introducing the reader to classical finite-dimensional dynamical system theory, including the Weinstein–Moser and Fadell–Rabinowitz resonant center theorems, the author develops the analogous theory for completely resonant nonlinear wave equations. Within this theory, both problems of small divisors and infinite bifurcation phenomena occur, requiring the use of Nash–Moser theory as well as minimax variational methods. These techniques are presented in a self-contained manner together with other basic notions of Hamiltonian PDEs and number theory.

This text serves as an introduction to research in this fascinating and rapidly growing field. Graduate students and researchers interested in nonlinear variational techniques as well in small divisors problems applied to Hamiltonian PDEs will find inspiration in the book.