Nonlinear Methods in Riemannian and Kählerian Geometry: Delivered at the German Mathematical Society Seminar in Düsseldorf in June, 1986

در این کتاب، من نسخه گسترده‌ای از محتوای سخنرانی‌هایم را در سمینار DMV (Deutsche Mathematiker Vereinigung) در دوسلدورف، ژوئن 1986 ارائه می‌دهم. عنوان \"روش‌های غیرخطی در هندسه پیچیده\" قبلاً نشان می‌دهد ترکیبی از تکنیک های معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی و مفاهیم هندسی. در تحقیقات هندسی قدیمی‌تر، معمولاً جنبه‌های محلی بیش از جنبه‌های جهانی توجه بیشتری را به خود جلب می‌کردند، زیرا هندسه دیفرانسیل در پایه‌های آن، تقریب‌هایی از پدیده‌های محلی را از طریق ساختارهای بینهایت کوچک یا دیفرانسیل ارائه می‌دهد. در اینجا همه معادلات خطی هستند. اگر بخواهیم جنبه های جهانی را در نظر بگیریم، معمولاً وجود انحنای Iead تا یک غیرخطی در معادلات وجود دارد. ساده ترین مورد، مورد ژئودزیکی است که توسط یک سیستم ODE مرتبه دوم غیرخطی توصیف می شود. خطی سازی آنها میدان های ژاکوبی است. اخیراً، PDE غیرخطی نقش بیشتر و مهمتری در هندسه ایفا کرد. اجازه دهید برخی از مهمترین آنها را بررسی کنیم: - نقشه های هارمونیک بین منیفولدهای ریمانی و کاهلر - سطوح حداقل در منیفولدهای ریمانی - معادلات مونگ-آمپر در منیفولدهای کاهلر - معادلات یانگ-میلز در بسته های برداری بر روی منیفولدها. در حالی که حل این معادلات معمولاً بی اهمیت است، می تواند به نتایج بسیار مهمی در هندسه منجر شود، زیرا راه حل ها نقشه ها، زیرمنیفولدها، متریک ها یا اتصالاتی را ارائه می دهند که با ویژگی های هندسی در یک زمینه مشخص متمایز می شوند. همه این معادلات بیضوی هستند، اما اغلب از معادلات سهموی به عنوان ابزار کمکی برای حل معادلات بیضوی استفاده می شود.

In this book, I present an expanded version of the contents of my lectures at a Seminar of the DMV (Deutsche Mathematiker Vereinigung) in Düsseldorf, June, 1986. The title "Nonlinear methods in complex geometry" already indicates a combination of techniques from nonlinear partial differential equations and geometric concepts. In older geometric investigations, usually the local aspects attracted more attention than the global ones as differential geometry in its foundations provides approximations of local phenomena through infinitesimal or differential constructions. Here, all equations are linear. If one wants to consider global aspects, however, usually the presence of curvature Ieads to a nonlinearity in the equations. The simplest case is the one of geodesics which are described by a system of second ordernonlinear ODE; their linearizations are the Jacobi fields. More recently, nonlinear PDE played a more and more pro~inent röle in geometry. Let us Iist some of the most important ones: - harmonic maps between Riemannian and Kählerian manifolds - minimal surfaces in Riemannian manifolds - Monge-Ampere equations on Kähler manifolds - Yang-Mills equations in vector bundles over manifolds. While the solution of these equations usually is nontrivial, it can Iead to very signifi­ cant results in geometry, as solutions provide maps, submanifolds, metrics, or connections which are distinguished by geometric properties in a given context. All these equations are elliptic, but often parabolic equations are used as an auxiliary tool to solve the elliptic ones.