Noncommutative Iwasawa Main Conjectures over Totally Real Fields: Münster, April 2011

تکنیک‌های جبری توسعه‌یافته توسط Kakde تقریباً به طور قطع در نهایت منجر به پیشرفت‌های عمده در مطالعه همخوانی‌های بین اشکال خودکار و حدس‌های اصلی تئوری Iwasawa غیرتقابلی برای انگیزه‌های بسیاری خواهد شد. تئوری ایواساوا غیرتبدیلی به طور چشمگیری در دهه گذشته ظهور کرده است، که به اثبات اخیر حدس اصلی غیرتعویض انگیز برای انگیزه تیت در مورد گسترش دروغ p-adic کاملا واقعی یک میدان عددی، به طور مستقل توسط ریتر و وایس در میدان عدد، به اوج خود رسید. یک طرف، و Kakde از طرف دیگر. ایده های اولیه برای ارائه یک فرمول دقیق از حدس اصلی غیر تعویضی توسط ونجاکوب کشف شد و سپس به طور سیستماتیک در مقالات بعدی توسط کوتس-فوکایا-کاتو-سوجاتا-ونجاکوب و فوکایا-کاتو توسعه یافت. همچنین کار موازی مرتبطی در این راستا توسط برنز و فلاچ بر روی حدس عدد تاماگاوا معادل انجام شد. متعاقباً، کاتو ایده مهمی برای مطالعه گروه های K_1 جبرهای ایواساوا غیرآبلین بر حسب گروه های K_1 از ضرایب آبلی این جبرهای ایواساوا کشف کرد. اثبات کاکده توسعه زیبایی از این ایده های کاتو است که با ایده ای از برنز ترکیب شده است و اساسا مطالعه حدس های اصلی غیرآبلی را به حدس های آبلی کاهش می دهد. رویکرد ریتر و وایس بیشتر کلاسیک است و تا حدودی از تکنیک های فرولیچ و تیلور الهام گرفته شده است. از آنجایی که بسیاری از ایده‌های این کتاب در نهایت باید برای انگیزه‌های دیگر قابل اجرا باشند، یکی از اهداف اصلی آن ارائه توضیحی مستقل از برخی از موضوعات کلی اصلی زیربنای این تحولات است. جلد حاضر منبع ارزشمندی برای محققانی خواهد بود که هم در تئوری ایواساوا و هم در نظریه اشکال خودکار کار می کنند.

The algebraic techniques developed by Kakde will almost certainly lead eventually to major progress in the study of congruences between automorphic forms and the main conjectures of non-commutative Iwasawa theory for many motives. Non-commutative Iwasawa theory has emerged dramatically over the last decade, culminating in the recent proof of the non-commutative main conjecture for the Tate motive over a totally real p-adic Lie extension of a number field, independently by Ritter and Weiss on the one hand, and Kakde on the other. The initial ideas for giving a precise formulation of the non-commutative main conjecture were discovered by Venjakob, and were then systematically developed in the subsequent papers by Coates-Fukaya-Kato-Sujatha-Venjakob and Fukaya-Kato. There was also parallel related work in this direction by Burns and Flach on the equivariant Tamagawa number conjecture. Subsequently, Kato discovered an important idea for studying the K_1 groups of non-abelian Iwasawa algebras in terms of the K_1 groups of the abelian quotients of these Iwasawa algebras. Kakde's proof is a beautiful development of these ideas of Kato, combined with an idea of Burns, and essentially reduces the study of the non-abelian main conjectures to abelian ones. The approach of Ritter and Weiss is more classical, and partly inspired by techniques of Frohlich and Taylor. Since many of the ideas in this book should eventually be applicable to other motives, one of its major aims is to provide a self-contained exposition of some of the main general themes underlying these developments. The present volume will be a valuable resource for researchers working in both Iwasawa theory and the theory of automorphic forms.