Navier–Stokes Equations on R3 × [0, T]

در این تک نگاری، محققان برجسته در دنیای تحلیل عددی، معادلات دیفرانسیل جزئی و مسائل محاسباتی سخت، خواص راه حل های معادلات دیفرانسیل ناویر-استوکسبر روی (x , y, z, t) ∈ ℝ³ × [0, T]. در ابتدا نویسندگان با تبدیل PDE به سیستم معادلات انتگرال، فضاهای A از توابع تحلیلی را که محل حل های این معادله است، توصیف می کنند و نشان می دهند که این فضاهای توابع تحلیلی در فضاهای متراکم هستند. Sتوابع به سرعت در حال کاهش و بی نهایت قابل تمایز. این روش از مزایای زیر بهره می‌برد:

• توابع S تقریباً همیشه مفهومی هستند و نه صریح
• شرایط اولیه و مرزی راه‌حل‌های PDE معمولاً از موارد کاربردی گرفته می‌شوند. علوم، و به این ترتیب، آنها تقریباً همیشه به صورت جزئی تحلیلی هستند، و در این مورد، راه حل ها دارای ویژگی های یکسانی هستند
• وقتی روش های تقریب برای توابع A اعمال می شود. آنها با سرعت نمایی همگرا می شوند، در حالی که روش های تقریب اعمال شده برای توابع S فقط با نرخ چند جمله ای همگرا می شوند
• محدوده های واضح تر را در راه حل ممکن می کند و اثبات وجود را آسان تر می کند، و روش دقیق تر و کارآمدتر حل، از جمله مرزهای دقیق خطا

به دنبال اثبات چگالی، نویسندگان وجود حل معادلات انتگرال در فضای توابع A ∩ ℝ³ × [0, T]، و ارائه یک الگوریتم جدید صریح بر اساس تقریبی Sinc on و تکرار مانند Picard برای محاسبه راه حل. علاوه بر این، نویسندگان ضمیمه‌هایی را شامل می‌شوند که یک برنامه Mathematica سفارشی برای راه‌حل‌های محاسباتی بر اساس روش تقریب الگوریتمی صریح ارائه می‌دهند و تصاویر صریح این راه‌حل‌های محاسبه‌شده را ارائه می‌دهند.

In this monograph, leading researchers in the world of numerical analysis, partial differential equations, and hard computational problems study the properties of solutions of the Navier–Stokespartial differential equations on (x, y, z, t) ∈ ℝ³ × [0, T]. Initially converting the PDE to a system of integral equations, the authors then describe spaces A of analytic functions that house solutions of this equation, and show that these spaces of analytic functions are dense in the spaces S of rapidly decreasing and infinitely differentiable functions. This method benefits from the following advantages:

• The functions of S are nearly always conceptual rather than explicit
• Initial and boundary conditions of solutions of PDE are usually drawn from the applied sciences, and as such, they are nearly always piece-wise analytic, and in this case, the solutions have the same properties
• When methods of approximation are applied to functions of A they converge at an exponential rate, whereas methods of approximation applied to the functions of S converge only at a polynomial rate
• Enables sharper bounds on the solution enabling easier existence proofs, and a more accurate and more efficient method of solution, including accurate error bounds

Following the proofs of denseness, the authors prove the existence of a solution of the integral equations in the space of functions A ∩ ℝ³ × [0, T], and provide an explicit novel algorithm based on Sinc approximation and Picard–like iteration for computing the solution. Additionally, the authors include appendices that provide a custom Mathematica program for computing solutions based on the explicit algorithmic approximation procedure, and which supply explicit illustrations of these computed solutions.