Multivariate Birkhoff Interpolation

موضوع این کتاب درونیابی لاگرانژ، هرمیت و بیرخوف (هرمیت لاکونی) توسط چند جمله‌ای جبری چند متغیره است. این یک رویکرد الگوریتمی جدید را به این موضوع که توسط G.G. لورنتس و نویسنده یکی از ویژگی‌های جالب توجه این رویکرد الگوریتمی این است که با تعیین منظم بودن از طریق دستکاری‌های هندسی ساده، ضرورت یافتن فرمولی برای تعیین کننده واندرموند یک درونیابی چند متغیره را به منظور تعیین منظم بودن آن (که فرمول‌ها به هر حال عملاً ناشناخته هستند) برطرف می‌کند. فضای اقلیدسی اگرچه درون یابی یک مسئله کلاسیک است، اما تعجب آور است که چقدر در مورد ویژگی های اساسی آن در حالت چند متغیره شناخته شده است. بنابراین کتاب با بررسی ویژگی‌های اساسی و محدودیت‌های آن شروع می‌شود. بخش اصلی کتاب به شرح کامل و دقیق تکنیک جدید اختصاص دارد. فصلی با انتخاب گسترده ای از عناصر محدود و همچنین فصلی با فرمول هایی برای تعیین کننده های واندرموند در ادامه می آید. در نهایت، این تکنیک برای درون یابی های غیر استاندارد اعمال می شود. این کتاب عمدتاً برای متخصصان این حوزه طراحی شده است. با این حال، از آنجایی که تمام شواهد با جزئیات کامل ارائه شده اند و از آنجایی که نمونه ها فراوان است، مخاطبان گسترده تری با دانش پایه از تجزیه و تحلیل و جبر خطی از آن سود خواهند برد. در واقع، ماهیت بنیادی ماهیت چند متغیره درونیابی چند متغیره با این واقعیت منعکس می‌شود که خوانندگانی که از حوزه‌های متفاوت هندسه جبری (تکینگی‌های سطوح)، عناصر محدود و CAGD می‌آیند، همگی اطلاعات مفیدی را در اینجا پیدا خواهند کرد.

The subject of this book is Lagrange, Hermite and Birkhoff (lacunary Hermite) interpolation by multivariate algebraic polynomials. It unifies and extends a new algorithmic approach to this subject which was introduced and developed by G.G. Lorentz and the author. One particularly interesting feature of this algorithmic approach is that it obviates the necessity of finding a formula for the Vandermonde determinant of a multivariate interpolation in order to determine its regularity (which formulas are practically unknown anyways) by determining the regularity through simple geometric manipulations in the Euclidean space. Although interpolation is a classical problem, it is surprising how little is known about its basic properties in the multivariate case. The book therefore starts by exploring its fundamental properties and its limitations. The main part of the book is devoted to a complete and detailed elaboration of the new technique. A chapter with an extensive selection of finite elements follows as well as a chapter with formulas for Vandermonde determinants. Finally, the technique is applied to non-standard interpolations. The book is principally oriented to specialists in the field. However, since all the proofs are presented in full detail and since examples are profuse, a wider audience with a basic knowledge of analysis and linear algebra will draw profit from it. Indeed, the fundamental nature of multivariate nature of multivariate interpolation is reflected by the fact that readers coming from the disparate fields of algebraic geometry (singularities of surfaces), of finite elements and of CAGD will also all find useful information here.