Multiple Scale and Singular Perturbation Methods

این کتاب یک نسخه اصلاح شده و به روز شده، شامل بخش قابل توجهی از مطالب جدید، از روش های آشفتگی متن ما در ریاضیات کاربردی است (اسپرینگر ورلاگ، 1981). ما مطالب را در سطحی ارائه می کنیم که آشنایی با اصول اولیه معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی را فرض می کند. برخی از ایده های پیشرفته تر در صورت نیاز بررسی می شوند. بنابراین این کتاب می تواند به عنوان یک متن در دوره کارشناسی پیشرفته یا دوره کارشناسی ارشد در مورد این موضوع باشد. روش‌های اغتشاش که برای اولین بار توسط ستاره‌شناسان برای پیش‌بینی اثرات اغتشاشات کوچک بر حرکات اسمی اجرام سماوی استفاده شد، اکنون به ابزارهای تحلیلی پرکاربرد تقریباً در تمام شاخه‌های علم تبدیل شده‌اند. اگر یک مسئله به یک مشکل ساده‌تر که دقیقاً قابل حل است، «نزدیک» باشد، خود را به تحلیل اغتشاش می‌دهد. به طور معمول، این نزدیکی با وقوع یک پارامتر بدون بعد کوچک، E، در سیستم حاکم (شامل معادلات دیفرانسیل و شرایط مرزی) اندازه گیری می شود، به طوری که برای E = 0 سیستم حاصل دقیقا قابل حل است. ابزار ریاضی اصلی مورد استفاده، بسط مجانبی با توجه به یک دنباله مجانبی مناسب از توابع E است. در یک مسئله اغتشاش منظم، یک روش ساده منجر به سیستمی از معادلات دیفرانسیل و شرایط مرزی برای هر عبارت در بسط مجانبی می‌شود. این سیستم را می توان به صورت بازگشتی حل کرد، و دقت نتیجه با کوچکتر شدن E برای همه مقادیر متغیرهای مستقل در سراسر حوزه مورد نظر بهبود می یابد. ما در فصل اول در مورد مسائل آشفتگی منظم بحث می کنیم.

This book is a revised and updated version, including a substantial portion of new material, of our text Perturbation Methods in Applied Mathematics (Springer­ Verlag, 1981). We present the material at a level that assumes some familiarity with the basics of ordinary and partial differential equations. Some of the more advanced ideas are reviewed as needed; therefore this book can serve as a text in either an advanced undergraduate course or a graduate-level course on the subject. Perturbation methods, first used by astronomers to predict the effects of small disturbances on the nominal motions of celestial bodies, have now become widely used analytical tools in virtually all branches of science. A problem lends itself to perturbation analysis if it is "close" to a simpler problem that can be solved exactly. Typically, this closeness is measured by the occurrence of a small dimensionless parameter, E, in the governing system (consisting of differential equations and boundary conditions) so that for E = 0 the resulting system is exactly solvable. The main mathematical tool used is asymptotic expansion with respect to a suitable asymptotic sequence of functions of E. In a regular perturbation problem, a straightforward procedure leads to a system of differential equations and boundary conditions for each term in the asymptotic expansion. This system can be solved recursively, and the accuracy of the result improves as E gets smaller, for all values of the independent variables throughout the domain of interest. We discuss regular perturbation problems in the first chapter.