Moduli of Smoothness

موضوع این کتاب، معرفی و بکارگیری معیاری جدید برای عملکردهای صافی است. اگرچه قبلاً هر دو مقاله‌هایی در این راستا منتشر کرده‌ایم، نتایج ارائه شده در اینجا جدید هستند. بسیاری از کارها در تابستان 1984 در ادمونتون انجام شد، زمانی که ما ایده های قبلی را ادغام کردیم و بیشتر جزئیات متن را بررسی کردیم. بهبود و صیقل دادن بسیاری از قضایا یک سال و نیم دیگر طول کشید. ما از پل نوای و ریچارد وارگا برای تشویق آنها تشکر می کنیم. ما از NSERC کانادا برای حمایت ارزشمندش تشکر می کنیم. ما همچنین از کریستین فیشر و لورا هیلند برای تایپ دقیق نسخه خطی ما تشکر می کنیم. z. Ditzian V. Totik محتویات مقدمه. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 بخش اول. مدول همواری فصل 1. مقدمات. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. نمادها . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. بحث در مورد برخی شرایط در cp(x). . . . • . . . . . . . • . . • . . • • . 8 . . . • . 1.3. نمونه هایی از توابع مختلف گام-وزن cp(x). . • . . • . . • . . • . . . 9 . . • فصل 2. K-Functional و مدول تداوم ... . ... 10 2.1. قضیه هم ارزی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . 2.2. برآورد بالا، Kr.tp(f، tr)p ~ Mw;(f، t)p، مورد I. . . . . . . . . . . . 12 . . . 2.3. برآورد بالایی از K-Functional، موارد دیگر. . . . . . . . . . 16 . 2.4. تخمین پایین تر برای K-Functional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 . . . . . فصل 3. K-Functionals و Moduli of Smoothness، سایر اشکال. 24 3.1. K-Functional اصلاح شده . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . 3.2. تفاوت های رو به جلو و عقب. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . 3.3. بخش اصلی مدول صافی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . .

The subject of this book is the introduction and application of a new measure for smoothness offunctions. Though we have both previously published some articles in this direction, the results given here are new. Much of the work was done in the summer of 1984 in Edmonton when we consolidated earlier ideas and worked out most of the details of the text. It took another year and a half to improve and polish many of the theorems. We express our gratitude to Paul Nevai and Richard Varga for their encouragement. We thank NSERC of Canada for its valuable support. We also thank Christine Fischer and Laura Heiland for their careful typing of our manuscript. z. Ditzian V. Totik CONTENTS Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 PART I. THE MODULUS OF SMOOTHNESS Chapter 1. Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Discussion of Some Conditions on cp(x). . . . • . . . . . . . • . . • . . • • . 8 . . . • . 1.3. Examples of Various Step-Weight Functions cp(x) . . • . . • . . • . . • . . . 9 . . • Chapter 2. The K-Functional and the Modulus of Continuity ... . ... 10 2.1. The Equivalence Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . 2.2. The Upper Estimate, Kr.tp(f, tr)p ~ Mw;(f, t)p, Case I . . . . . . . . . . . . 12 . . . 2.3. The Upper Estimate of the K-Functional, The Other Cases. . . . . . . . . . 16 . 2.4. The Lower Estimate for the K-Functional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 . . . . . Chapter 3. K-Functionals and Moduli of Smoothness, Other Forms. 24 3.1. A Modified K-Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . 3.2. Forward and Backward Differences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . 3.3. Main-Part Modulus of Smoothness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . .